Solve your IGNOU Doubts

Question:

दर्शाइए कि $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2\sqrt{n+1} - 2, \forall n \in \mathbb{N}$ .
ख) मान लीजिए कि $a, b > 0, a + b = 1, n > 1$ . दर्शाइए कि $\left(a + \frac{1}{a}\right)^n + \left(b + \frac{1}{b}\right)^n \geq \frac{5^n}{2^{n-1}}$ .

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Question:

) निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए। उदाहरण के लिए, यह दर्शाने के लिए कि '{1, पदमा, नीला} एक समुच्चय है' एक सत्य कथन है, आपको यह कहने की आवश्यकता है कि यह सत्य है, क्योंकि यह तीन वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है।)
i) $x + 2y + 3z = 2$ , $3x + 2y + 3z = 6$ और $2x + 3y = 5$ में से z के निराकरण से $x + 2y = 2$ प्राप्त होता है।
ii) $x^3 - 8x - 3 = 0$ के मूल $x = \frac{8 \pm \sqrt{64+12}}{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
iii) $\left(\sqrt{2}, 1, \frac{3}{5}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ .
iv) $\mathbb{R}$ में कोई भी n धनात्मक संख्या हों, तो उनके हरात्मक माध्य और समांतर माध्य का गुणनफल 1 होता है।
v) यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि $(A \cup B)^c$ रिक्त समुच्चय है, तो या तो $A = \phi$ या $B = \phi$ होगा।

vi) किन्हीं $x, y \in \mathbb{R}, |x - y| \geq ||x| - |y||$ के लिए।
vii) समुच्चय $\{ix \mid x \in \mathbb{R}\}$ का ज्यामितीय निरूपण एक बिंदु होता है।
viii) कोई भी परिमित समुच्चय $\mathbb{Z}$ का एक उपसमुच्चय होता है।
ix) प्रत्येक चतुर्थांत समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।
x) कथन 'एम.टी.ई-04 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एफ.एस.डी-01 पूरा कर लिया है', का विलोम है 'FST-01 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एम टी ई-04 पूरा कर लिया है' ।

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Question:

क) प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित के $\mathbb{R}^3$ में हल समुच्चय प्राप्त कीजिए:

i) $x - \pi = 5$

ii) $2x - y + z = 1, x - 2y + z = 3, y = \sqrt{2} - z$

iii) $x - y = 5, x = 7, 2x - 3y = 5$

ख) वास्तविक जीवन की स्थिति की एक ऐसी समस्या दीजिए, जिसका गणितीय सूत्रीकरण है

$$2x + y + 2z = 18, x + 3y + 3z = 24, 3y = 6.$

यह भी स्पष्ट कीजिए कि यह रैखिक निकाय आपकी समस्या का एक प्रतिदर्श कैसे है।

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Question:

7. क) $a \in \mathbb{R}$ के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए ai समीकरण $z^4 - 2z^3 + 7z^2 - 4z + 10 = 0$ का एक हल है। साथ ही, इस समीकरण के सभी मूल भी ज्ञात कीजिए।

यहाँ पांचवीं छवि में दिए गए पाठ का लिखित रूप है:

ख) 3i - 3 के सभी आठवें मूलों को ज्ञात कीजिए। साथ ही, इनमें से किसी एक को एक आरगां आलेख में दर्शाइए।

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Question:

निम्नलिखित दीजिए :

i) एक $2 \times 4$ आव्यूह;

ii) उपरोक्त (i) के आव्यूह का परिवर्त;

iii) $AX = B$ , द्वारा निरूपित रैखिक समीकरणों का एक निकाय, जहां A उपरोक्त (ii) में दिया आव्यूह है।

ख) रैखिक निकाय

$$2x - 3y + 4z = 20\frac{2}{3}$

$$x + 2y - 3z + 13.5 = 0$

$$-x - 2y + 5z = -\frac{113}{6}$

पर विचार कीजिए। इस निकाय में क्रेमर नियम क्यों लागू होता है, इसके दो कारण दीजिए। साथ ही, निकाय को हल करने के लिए, इस नियम का प्रयोग कीजिए।

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Question:

अपने इग्नू अध्ययन के संदर्भ में निम्नलिखित दीजिए :

i) निहितार्थ का एक उदाहरण;

ii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का विलोम;

iii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का प्रतिधनात्मक;

iv) $\forall$ का प्रयोग करते हुए एक कथन;

v) $\exists$ का प्रयोग करते हुए एक कथन;

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Question:

क) यदि A और B क्रमशः समपूर्णांकों और विषम पूर्णांकों के समुच्चय हैं, तो $A \cup B$ और $(A \cup B)^c$ ज्ञात कीजिए।
ख) i) $A \times B$ , तथा इसमें अवयवों की संख्या, ज्ञात कीजिए, जहां
$A = \{3n + 2 \mid 1 \leq n \leq 10\} \subseteq \mathbb{Z}$ , तथा
$B = \{n \in \mathbb{Z} \mid 1 \leq n \leq 15\} \cap \{m \in \mathbb{Z} \mid 2 \mid m\}$ .
ii) दो समुच्चय C और D, दिए रहने पर, उन पर किन प्रतिबंधों के अधीन $C \times D$ और $D \times C$ में अवयवों की संख्या समान होगी? अपने उत्तर के कारण दीजिए।
ग) निम्नलिखित स्थिति को वेन आरेख में व्यक्त कीजिए :
60 महिलाओं के एक सर्वे से ज्ञात हुआ कि 25 केवल कक्षा 12 तक पढ़ी हैं; 10 केवल कक्षा 10 तक पढ़ी हैं; 26 को छात्रवृत्ति मिली है; कक्षा 12 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 9 को छात्रवृत्ति मिली है, कक्षा 10 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 8 को छात्रवृत्ति मिली है तथा 11 ने बी ए की डिग्री पूर्ण कर ली है।

यहाँ चौथी छवि में दिए गए पाठ का लिखित रूप है:

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Question:

विविक्तकर का प्रयोग करते हुए, $7x^3 + x^2 - 35x = 5$ के मूलों की प्रकृति बताइए। इस समीकरण को हल भी कीजिए।
ख) वह त्रिघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल $x^3 + ax^2 + bx + c = 0, a, b, c \in \mathbb{R}$ के मूलों के घन हैं।

ग) समीकरण $x^4 + 4x^3 + 8 = 0$ के साधक त्रिघाती देकार्त की विधि तथा फ़ेरारी की विधि द्वारा प्राप्त कीजिए। क्या दोनों त्रिघाती समान हैं? साथ ही, इनमें से किसी एक विधि द्वारा इस समीकरण के मूल प्राप्त कीजिए।

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Question:

क) दर्शाइए कि $1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} > 2\sqrt{n+1} - 2, \forall n \in \mathbb{N}$ .
ख) मान लीजिए कि $a, b > 0, a + b = 1, n > 1$ . दर्शाइए कि $\left(a + \frac{1}{a}\right)^n + \left(b + \frac{1}{b}\right)^n \geq \frac{5^n}{2^{n-1}}$ .

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Question:

निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए। उदाहरण के लिए, यह दर्शाने के लिए कि '{1, पदमा, नीला} एक समुच्चय है' एक सत्य कथन है, आपको यह कहने की आवश्यकता है कि यह सत्य है, क्योंकि यह तीन वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है।)
i) $x + 2y + 3z = 2$ , $3x + 2y + 3z = 6$ और $2x + 3y = 5$ में से z के निराकरण से $x + 2y = 2$ प्राप्त होता है।
ii) $x^3 - 8x - 3 = 0$ के मूल $x = \frac{8 \pm \sqrt{64+12}}{2}$ द्वारा दिए जाते हैं।
iii) $\left(\sqrt{2}, 1, \frac{3}{5}\right) \in \mathbb{Q} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{R}$ .
iv) $\mathbb{R}$ में कोई भी n धनात्मक संख्या हों, तो उनके हरात्मक माध्य और समांतर माध्य का गुणनफल 1 होता है।
v) यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि $(A \cup B)^c$ रिक्त समुच्चय है, तो या तो $A = \phi$ या $B = \phi$ होगा।

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Question:

(क) क्या निम्नलिखित फलन $f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}, x \neq 0, y \neq 0$ श्वार्ज़-प्रमेय की आवश्यकताओं को (1,1) पर संतुष्ट करता है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए। (4)
(ख) निम्नलिखित के स्तब्ध बिन्दु निर्धारित करके उनका वर्गीकरण कीजिए : (6)
(i) $f(x, y) = 4xy + x^4 - y^4$
(ii) $f(x, y) = xy + \frac{2}{x} + \frac{4}{y}, x > 0, y > 0$

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Question:

क) यदि $\lim_{x \to 0} \frac{x(1+a \cos x)-b \sin x}{x^3}=1$ तो a और b के मान ज्ञात कीजिए।
(ख) मान लीजिए कि S और C $\mathbf{R}^3$ के उपसमुच्चय हैं। S मूल-बिन्दु पर केन्द्र वाला एकक विवृत गोलक है तथा C विवृत घन $= \{P(x, y, z) \mid -1 < x < 1, -1 < y < 1, -1 < z < 1\}$ ।
निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) $S \subset C$
(ii) $C \subset S$

(ग) निम्नलिखित फलनों के स्तर वक्र ज्ञात कीजिए :
(i) $\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
(ii) $\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}$
(iii) x-y
(iv) y / x

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Question:

(क) $\int_c (2x^2 + 3y^2) dx$ के मान निकालिए, जहाँ C $x(t) = at^2, y(t) = 2at, 0 \le t \le 1$ से प्राप्त वक्र है।
(ख) द्विश: समाकलन का प्रयोग करके दीर्घवृत्तज

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Question:

(क) (0,0) पर निम्नलिखित फलन f के सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच कीजिए, जहाँ

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(ख) फलन $f(x, y) = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$ से परिभाषित फलन f का प्रांत और परिसर ज्ञात कीजिए। इस फलन के दो स्तर वक्र भी ज्ञात कीजिए।

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Question:

(क) $\mathbf{R}^2$ के एक विवृत उपसमुच्चय D पर दो अवकलनीय फलनों f और g की फलनात्मक आश्रितता का आवश्यक प्रतिबंध बताने वाले प्रमेय का कथन दीजिए। निम्नलिखित फलनों f तथा g द्वारा परिभाषित इस प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad$ $$f(x, y) = \frac{y - x}{y + x}, g(x, y) = \frac{x}{y}$ $

(ख) अस्पष्ट फलन प्रमेय की सहायता से यह दिखाइए कि 1 के प्रतिवेश में एक ऐसा अवकलनीय फलन g होता है, जिससे कि (2,1) के प्रतिवेश में $g(1) = 2$ और $F(g(y),y) = 0$ जहाँ
$F(x,y) = x^5 + y^5 - 16xy^3 - 1 = 0$ से फलन F परिभाषित है। g'(y) भी ज्ञात कीजिए।
(ग) $f(x,y) = (x^2 - y^2, 2xy)$ द्वारा परिभाषित फलन f की (1, -1) पर स्थानीय व्युत्क्रमणीयता की जाँच कीजिए। फलन f के लिए एक प्रांत ज्ञात कीजिए जिसमें f व्युत्क्रमणीय है।

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Question:

(क) ग्रीन प्रमेय का कथन दीजिए और इसकी सहायता से
$\int\limits_C (3x^2 - 4y) dx - (2x + y^3) dy$ का मान निकालिए,
जहाँ C, दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ है।
(ख) पृष्ठ $x^2 + 2y^2 = 1$ पर फलन $f(x, y) = x^2 + y$ के चरम मान ज्ञात कीजिए।

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Question:

(क) वक्रों $y = 4x^2$ और $x = 4$ से परिबद्ध और $\delta(x, y) = y$ के घनत्व वाले एक पतली शीट का गुरुत्व केन्द्र ज्ञात कीजिए।
(ख) $z = 1$ और $z = x^2 + y^2$ से परिबद्ध ठोस घनाकृति का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि घनत्व फलन, $\delta(x, y, z) = |x|$ हो।

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Question:

(क) मान लीजिए

$$f(x, y) = \begin{cases} \frac{3x^2 y^4}{x^4 + y^8}, & (x, y) \neq (0,0) \\ 0, & (x, y) = (0,0) \end{cases}$ $
दिखाइए कि (0,0) पर सभी दिशाओं में f दिक् अवकलज होते हैं।

(ख) मान लीजिए $x = e^r \cos \theta, y = e^r \sin \theta$ और f, x और y का एक संततः अवकलनीय फलन है जिसके आंशिक अवकलज भी संततः अवकलनीय हैं। दिखाइए कि
$$\frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} = (x^2 + y^2) \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)$ $

(ग) मान लीजिए $a = (1, 2, 3), b = (-5, 3, -2), c = (2, -4, 1), \mathbf{R}^3$ के तीन बिन्दु हैं।
|2b - a + 3c| ज्ञात कीजिए।

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Question:

(क) निम्नलिखित सीमा ज्ञात कीजिए :
(i) $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{8x^2 - 3} \right)^{1/3}$
(ii) $\lim_{x \to 0^+} (\sin x)^{\sin x}$

(ख) बिन्दु (1,2) पर फलन $f(x,y)=1+5xy+3^{2}y$ का तृतीय टेलर बहुपद ज्ञात कीजिए।
(ग) केवल परिभाषाओं को लागू करके f_xy(0,0) और f_yx(0,0) ज्ञात कीजिए, जबकि फलन

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के लिए इनका अस्तित्व होता हो।

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Question:

बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।

(i) $\quad \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{\sin x} = 1$

(ii) तीन चरों वाला एक वास्तविक-मान फलन, जो सर्वत्र सतत है, अवकलनीय होता है।
(iii) $F(x, y) = (y + 2, x + y)$ से परिभाषित फलन $F : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}^2$ किसी भी बिन्दु $(x, y) \in \mathbf{R}^2$ पर स्थानिकतः व्युत्क्रमणीय होता है।
(iv) Image ignouassignments-ignouacademy-com--p-ignou-59055
से परिभाषित फलन $f : [-1, 1] \times [-2, 2] \to \mathbf{R}$ समाकलनीय होता है।
(v) $f(x, y) = 1 - y^2 + x^2$ से परिभाषित फलन $f : \mathbf{R}^2 \to \mathbf{R}$ का (0, 0) पर एक चरम मान होता है।