र्शाइए कि यदि या
, तो
, जहां
.
दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।
See Answer →क) मान लीजिए कि तथा
मान लीजिए कि . जाँच कीजिए कि D एक UFD है या नहीं।
मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय तत्समकी वलय है और . समाकारिता के मूल प्रमेय का प्रयोग करते हुए, सिद्ध कीजिए कि
.
इस तरह, दर्शाइए कि
के सभी मात्रकों को ज्ञात कीजिए।
सिद्ध कीजिए कि वलयों के रूप में, .
जाँच कीजिए कि वलय
का एक उपवलय है या नहीं। यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए।
मान लीजिए कि G एक ऐसा समूह है कि चक्रीय है। सिद्ध कीजिए कि G आबेली होगा।
एक ऐसा समूह G तथा G की एक ऐसी समाकारिता ज्ञात कीजिए, जिससे कि
हो तथा
हो। क्या G आबेली होगा? अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
मान लीजिए कि G कोटि 56 का एक समूह है। इसके सभी सीलो p-उपसमूह क्या होंगे? दर्शाइए कि G सरल नहीं है, अर्थात् G का एक उचित प्रसामान्य अतुच्छ उपसमूह अवश्य ही होना चाहिए।
See Answer → समूह , के अवयवों और इसकी संरचना को स्पष्ट रूप में दीजिए।
(क) फलन पर विचार कीजिए। मान लीजिए कि
. तब, फलनों के संयोजन के सापेक्ष B एक समूह है। जाँच कीजिए कि
, B का एक प्रसामान्य उपसमूह है या नहीं। (4)
.
(ग) मान लीजिए कि G कोटि वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं -
और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या n एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है।
i) ,
ii)
(ख) मान लीजिए कि एक परिमित आबेली समूह है तथा
. सिद्ध कीजिए कि
जाँच कीजिए कि निम्नलिखित का एक उपसमूह है या नहीं :
पुष्टिकरण के साथ, किसी अक्रमविनिमेय समूह के एक क्रमविनिमेय उपसमूह का उदाहरण दीजिए।
See Answer → सिद्ध कीजिए कि (n बार)
और
.
जाँच कीजिए कि (X, ) एक समूह है या नहीं।
See Answer →समुच्चय पर विचार कीजिए। X पर को
द्वारा परिभाषित कीजिए।