Solve your IGNOU Doubts

Question:

समाकल परीक्षण का प्रयोग करके p − श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$ , जहाँ p > 0, के अभिसरण पर चर्चा कीजिए।

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Question:

मान लीजिए कि f तथा g, R[a, b] में हैं। तब दिखाइए कि फलन f + g भी R[a, b] में हैं, तथा $\int_a^b (f + g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ .

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Question:

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित समुच्चय विवृत हैं या संवृत हैं अथवा न तो विवृत हैं और न ही संवृत।

i. $\{3n : n \in \mathbb{N}\}$

ii. $]1, 6[ \cup [2, 8]$

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Question:

फलन f की $x = 0$ पर असांतत्य के प्रकार की जाँच कीजिए, जहाँ
$f(x)=\begin{cases}x-|x|,&x\neq 0\\2,&x=0\end{cases}$ है।

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Question:

दिखाइए कि फलन $f : ]0, \infty[ \to \mathbb{R}$ , जो $f(x) = \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित है, अपने प्रांत पर सतत है, परंतु वहाँ समान रूप से सतत नहीं है। क्या यह फलन किसी भी निश्चित c > 0 के लिए अंतराल $[c, \infty[$ पर एकसमान सतत होगा?

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Question:

सिद्ध कीजिए कि यह समुच्चय $S = \left\{ \frac{1+(-1)^n}{2} + \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}$ संवृत नहीं है।

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Question:

श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} a_nx^n$ , की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए। जहाँ $a_n = \frac{n!}{n^n}$ है।

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Question:

श्रेणी $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}n}{n^3+1}$ के अभिसरण की जाँच कीजिए।

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Question:

जाँच कीजिए कि अनुक्रम $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ , जिसे इस प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
$a_{n+1} = 2 - \frac{1}{a_n + 2} \quad \forall n \geq 1$ , और $a_n = 2$ .
अभिसारी है या नहीं।

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Question:

सीमाओं पर कौशी का द्वितीय प्रमेय लिखिए। इसे यह प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग कीजिए कि $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n}{\{(n+1)(n+2)...(2n)\}^{\frac{1}{n}}} \right) = \frac{e}{4}$ हो।

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Question:

गणितीय आगमन का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि प्रथम 'n' प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योगफल $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ होता है।

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Question:

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की लघु-व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिए।

(i) $p \lor (\sim q)$ का निषेध $q \to p$ है।
(ii) $\mathbb{Q} \setminus \mathbb{N}$ गणनीय हैं।
(iii) समीकरण $x^3 - 2x + 3 = 0$ का एक वास्तविक मूल -2 और 1 के बीच है।
(iv) प्रत्येक वर्धमान अनुक्रम का एक अभिसारी उप-अनुक्रम होता है।
(v) फलन $f(x)=\begin{cases}\dfrac{\sin 2x}{x},&x\ne 0\\3,&x=0\end{cases}$ में एक अपनेय असांतत्य है।
(vi) एक समाकलनीय फलन में असांतत्य के सीमित बिंदु होते है।
(vii) श्रेणी $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2^n}$ अपसारी है।
(viii) फलन f, जो $f(x) = \sin x (1 + \cos x)$ , द्वारा परिभाषित है तथा $x \in [0, 2\pi]$ पर परिभाषित है, का स्थानीय अधिकतम $x = \frac{\pi}{3}$ पर हैं।
(ix) अंतराल [a, b] पर परिभाषित प्रत्येक अचर फलन रीमान समाकलनीय होता है।
(x) फलन $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ जो $f(x) = |x - 2| + |x - 1|$ द्वारा परिभाषित है, $x = 3$ पर अवकलनीय है।