निम्नलिखित मांग और आपूर्ति फलनों के स्थीतिक स्थायित्व और गतिक स्थायित्व पर चर्चा कीजिए 

एक रोगी को एक दवा की  खुराक एक नियत समय-अंतराल t पर दी जाती है। प्रयोग से यह दिखाया गया है कि उक्त में दया का सांद्रण C निम्नलिखित नियम का पालन करता है 

i) यदि दवा की पहली खुराक समय t=0 घंटे पर दी गई हो, तो बताइए कि T घंटा बीत जाने के बाद क्या सांद्रण होगा?

ii) यह मानकर कि जब भी दवा दी जाती है तो सांदण में लाक्षणिक वृद्धि हो जाती है बताइए कि दूसरी खुराक देने और फिर से 1 घंटा बीत जाने के बाद  सांद्रण क्या होगा?

iii) दिखाइए कि T घंटे के अंतराल पर दी गई क्यूएमजी/एमएल खुराक के सांद्रण का सीमांत मान आर निम्नलिखित सूत्र से प्राप्त हो जाता है: 

एक कप कॉफी जिसका तापमान 95°C क है, को एक कमरे में, जिसका तापमान 25°C क है, रखा गया है। दो मिनट बाद कॉफी का तापमान 70°Cसी हो जाता है। बताइए कि कॉफी का तापमान 50°C क कब होगा?

एक विम स्लैबमें ऊष्मा चालन की समस्या लीजिए। x = 0 पर पृष्ट ऊष्मारोधी है और x = 1 पर पृष्ठ और परिवेश के बीच के तापांतर की आनुपतिक दर से ऊष्मा की हानि पर्यावरण में हो रही है। इस समस्या के सूत्रण से परिसीमा प्रतिबंधों सहित निम्नलिखित आंशिक अवकल समीकरण प्राप्त होता हैः

जहां  तापमान है।

चर-पृथक्करण विधि से हल

प्राप्त कीजिए और निम्नलिखित ज्ञात कीजिए:

i) ) के समीकरण और इन समीकरणों को हल करने के लिए X(x) पर संगम प्रतिबंध ।

ii) ऊपर (i) में X(x) के लिए प्राप्त समस्या के आइगनमान और संगत आइगनफलन।

iii) हल u(x,t) 

ऊंचाई h वाली एक मीनार से एक पत्थर ऊर्ध्वाधरतः नीचे गिराया गया है। उसी समय एक अन्य पत्थर को मीनार के आधार से ऊर्ध्वाधरतः ऊपर की ओर वेग u से फेंका गया है। वेग uका निम्नतम मान क्या होगा जिससे कि दोनों पत्थर मध्य वायु में एक-दूसरे से मिलें?

पृथ्वी की सतह से काफी ऊंचाई पर छाए बादल से वर्षा की एक बूंद गिरना प्रारंभ करती है। गिरने के दौरान बायु-प्रतिरोध के कारण बूंद मंद पड़ती जाती है। यह प्रतिरोध बूंद की तात्क्षणिक चाल के अनुक्रमानुपाती हो, तो

i)निदर्श समीकरण लिखिए।

ii) क्या यह निदर्श त्वेतिक है या गतिक? क्यों?

iii) चाल का एक व्यंजक प्राप्त कीजिए।

iv)समय t में परविर्तन के साथके व्यवहार पर चर्चा कीजिए।

विभीय विश्लेषण का प्रयोग करके यह दिखाइए कि यह केप्लर के तृतीय नियम का पालन करते है।

The Hamiltonian for an electron at rest in a magnetic field Bo along the z-direction is , where . Given that the initial state of the system is  determine the state and  at al later time t.

i) Write down the angular momentum states |j,mj) for j = 2 and the eigenvalue of J² and J_₂ for each of these states.

ii) Determine J+ 2,1) and J_|2,1).

i) Show that the Hamiltonian for a simple harmonic oscillator can be written in terms of the raising and lowering operators as Ĥ = 

ii) Obtain the value of * (n|p^-2|n) for the eigenket | n) of t of the simple harmonic oscillator.

Derive the Heisenberg equations of motion for the simple harmonic oscillator.

A two state system has the orthonormal energy eigenkets IE₁) and IE2) with eigenvalues E_₁ and E₂. If the initial state of the system is given by, determine .

The orthonormal bases for a three-dimensional

Hilbert space is described by . The action of an operator Ô in this space is given by:

Obtain the matrix representation of this operator.

Show that a linear combination of the degenerate eigenvectors of an operator belonging to a particular eigenvalue of the operator is also an eigenvector belonging to the same eigenvalue.

Consider an electron in the state

where , are the Hydrogen atom eigenfunctions. Determine the normalization constant N and the expectation values of the energy, L² and L^z.

Calculate the probability that a simple harmonic oscillator in its ground state will be found beyond the classical turning points.

Consider a one dimensional potential well with an infinite barrier at x = 0 and a finite potential V for x ≥ L. Solve the Schrödinger equation for a particle of mass m inside the well with an energy E

Show that [x², px²] = 2ih(xpx +p _xx)

The wavefunction of particle of mass m confined to move in one dimension is ψ(x) = Nx exp(-ax), 0 ≤ x ≤∞. Calculate the normalization constant N and the expectation value of 1/x.

Calculate the probability current density for the wavefunction: w(x) = f(x)exp[ig(x)].