मान लीजिये कि S कोई भी एक अरिक्त समुच्चय है और V (S), सपर सभी वास्तविक मान वाले फलनों का समुच्चय है। V(S) पर योग (f+g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभषित कीजिये और आदिश गुणन ( f) (x) =  f(x) द्वारा परिभषित कीजिये। जाँच कीजिये कि V (S), +, .) एक सदिश समष्टि है।

द्विघाति समघात का चिह्नक इकालिये।

रैखिक संकारक ? ∶ ℂ² → ℂ², जो ? (z₁,z₂) = (z₂,z₁ + iz₂)  द्वारा परिभाषित है, का C² पर मानक अंतर गुणन के सापेक्ष संलग्न निकालिये। 

मान लीजिये कि C[0, 1] अंतराल [0, 1] पर आंतर गुणन फलन

के सापेक्ष वास्तविक मूल्यों वाले उत्पादों का प्रतिच्छेदन गुणक यौगिक है। आंतर गुणन का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

जाँच कीजिये कि  आव्यूह के  आइगेंसदिश है। संगत आईगेमान क्या है?

आव्यूह  के लिये कैली-हैल्टन प्रमेय सत्यापित कीजिये। 

मान लीजिये कि A एक 2 x 3 आव्युह है, B एक 3 x 4 आव्यूह है, C एक 3 x 2 आव्यूह है और D एक 3 x 4 आव्यूह है। क्या AB + C^tD परिभाषित है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

रैखिक रूपांतरण के क्रमित आधार {(0, −1), (−1, 0)} के सापेक्ष आव्यूह निकालिये, जो ? (?, ?) = (2?, ? − ?) द्वारा परिभाषित है,।. 

उस रैखिक रूपांतरण को वर्णन कीजिये जिस् के लिये

है जहाँ  के मानक आधार है।

खिक रूपांतरण की अष्टि ज्ञात कीजिये, जो ? (?, ?) = (2? + 3?, 2? − 3?) द्वारा परिभाषित है,। 

यदि का एक क्रमित आधार है और इस का संगत द्वैत आधार है तो और निकालिये। 

जाँच कीजिये कि द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है। 

जाँच कीजिये कि में, जो कोटि 3 य उस से कम वाले बहुपदों की सदिश स्मष्टि है, सदिशों की शमष्टि रैखिकतः स्वतंत्र है।. 

जाँच कीजिये कि की उप सम्ष्टि है या नहीं।

बिंदुओं (1,0,-1), (0, 1, 1) और (-1,1,0) द्वारा निर्धारित समतल की सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये ।. 

सदिशों और के बीच का कोण ज्ञात कीजिये।. 

Which of the following statements are true and which are false? Justify your answer with a short proof or a counter example.

(a) Every subgroup of S₃ is normal.

(b) Every abelian group is cyclic.

(c) In a ring with unity, the sum of any two units is a unit.

(d) If a field has characteristic p, p a prime, the field is finite.

(e) If every element in group has finite order, the group is finite.

Let R be a ring (not necessarily commutative) and I and J be ideal of R. Show that I ∩ J and I + J = {a + bla ∈ I, b ∈ J} are ideals of R.

Check whether or not (3) is a maximal ideal in Z₉.

Show that (x, 5) is not a principal ideal in Z[x].