Find the supremum and infimum of the set:

Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

Prove that a function f : S → S (where S is a finite non-empty set) is injective if it is surjective.

Test the following series for convergence:

Show that the set:

is not closed.

Prove that the sequence (a_n)_n∈N, where a_n = 3² / x² + 2^{2 ,} is Cauchy.

Test the following series for convergence.

(i)  

(ii) 

Which of the following statements are true or false? Give reasons for your answers in the form of a short proof or counter-example, whichever is appropriate:

i) Every infinite set is an open set.

ii) The negation of p^~qis p→q.

iii) -1 is a limit point of the interval ]-2,1].

iv) The necessary condition for a function f to be integrable is that it is continuous.

The function f: R→R defined by f(x) = |x-2|+|3-x is differentiable at x = 5.

निम्न लिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य? अपने उत्तर की एक लघु उपपत्ति या प्रति-उदाहरण द्वारा पुष्टि कीजिये। 

i) यदि W₁ और W₂ एक परिमित विमा, शून्येत्तर सदिश समष्टि V की उपसमष्टियाँ हैं और

ii) यदि V एक सदिश सम्ष्टि है और  एक ऐसा समुच्चय हैजिस में  यदि , तो ऍस एक रैखिकतः स्वतंत्र समुच्चय है।

iii) यदि ?₁ , ?₂ ∶ ? → ? एक परिमित विमा ? और ?1 ∘ ?2 व्युत्क्रमणीय हैं, तो ?2 ∘ ?1 भी वव्युत्क्रमणीय है।

iv) यदि एक ? × ?, ? ≥ 2,, वर्गीय आव्यूह विकर्णनीय है, तो इस के अल्पिष्ट बहुपद और अभिलक्षणिक बहुपद बराबर है।

v) यदि ?1 , ?2 ∶ ? → ? एक परिमित विमा सदिश समष्टि ? पर स्वसंलग्न संकारक है, तो T₁ + T₂ भी स्वसंलग्न है।

द्विघाति समघात −?2 + ?2 + ?2 + 4?? + 4?z का लाम्बिक विहित समानयन और इस के मुक्य अक्ष निकालिये। 

मान लीजिये कि (?₁ , ?₂ , ?₃) और (y₁, y₂, y₃) आधारों ?₁ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (0, 0, 1)},, ?₂ = {(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 1)}, के राापेक्ष निर्देशांकों को निरुपित करते हैं। यदि

(?1 , ?2 , ?3) के पदों में Q को निरूपण निकालिये।

रैखिक समीकरण टीसीसी³ लीजिये जो

? (?₁ , ?₂ , ?₃) = (?₁ − ??₂ , ??₁ − 2?₂ + ??₃ , −??₂ + ?₃) .

द्वारा परिभषित है।

i) T* परिकलित कीजिये और जाँच कीजिये कि ट स्वसंलग्न है।

ii) जाँच कीजिये कि ट ऐकिक है।

मान लीजिये कि व, आईआर पर ऐसे सभी वास्तविक मान वाले फलनों की सदिश समष्टि है जो दो बार अवकलनीय है। जाँच कीजिए कि ऍस पर रैखिकतः स्वतंत्र है। (संकेतः समीकरण

लीजिये।  इत्यादि रखिये और a_i निकालिये।) 

आव्यूह

की अल्पिष्ठ बहुपद ज्ञात कीजिये।

निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रमर नियम से हल कीजिये:

ज्ञात कीजिये, जहाँ  इस से A^-1 निकालिये। 

आव्यूह  के आइगेमान और आइगेंसदिश ज्ञात कीजिये। क्या यह आव्यूह विकर्णनीय अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

दिखाइये कि की एक उपसमष्टि है। की उपस्मष्टि U का आधार भी ज्ञात कीजिये, जो  , को संतुष्ट करती है। 

मान लीजिये कि ? ∶ ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है ओर क्रमित आधार 

के सापेक्ष उसका आव्यूह  है। क्रमित आधार

 के सापेक्ष T का आव्यूह निकालिये।। 

जाँच कीजिये कि B = {1, 2? + 1, (? − 1)2 }, ?₂ के लिये एक आधार है जहाँ पी2 अधिक से अधिक कोटि P² वाले वास्तविक गुणाँक बहुपदों की सदिश समष्टि है।