को आंशिक भिन्नों के योग में व्यक्त कीजिए।

यदि है, तो दर्शाइए कि बिन्दु z + i एक वृत्त निरूपित करता है। इस वृत्त को खींचिए।

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय R और उस पर सामान्य जोड़ (+) तथा सामान्य गुणनफल

 दिए गये हैं। (*), R पर निम्नलिखित से परिभाषित है :

क्या (*), R सहयोगी है? क्या (.), आर में (*) पर वितरित है? जाँच कीजिए।

द्वारा परिभाषित फलन एफ का प्रांत ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित कथनों में से कथन सत्य और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर के पक्ष में एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रति-उदाहरण दीजिए।

a) समुच्चय S ∈ R : x² - 3x + 2 = 0} एक अपरिमित समुच्चय है।

b) अधिकतम पूर्णांक फलन, R पर सतत् होता है।

c)  

d) प्रत्येक समाकलनीय फलन एकदिष्ट होता है।

e) परिमेय संख्याओं के समुच्चय Q, पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

Verigy Lagrange’s mean value theorem for the function f defined by

If  , Show that:

Hence find the value of . 

Evaluate:

Solve the equation: 

given that its roots are in G.P.

Find the largest subset of R on which the function :f R → R defined as:

is continuous.

If y=e^m sin ^-1 X, then show that . Hence using Leibnitz’s formula, find the value of .

Find the condition for the curves,  ax² by² =1 and a x² + b y ² = 1 intersecting orthogonally.

Find the length of the cycloid x = α(θ −sinθ),y = α 1( − cosθ) and show that the line  θ = 2π/3 divides it in the ratio 1 : 3.

Trace the curve y² (x+1) = x² (3-x) clearly stating all the properties used for tracing it.

If the revenue function is given by  being the input, find the maximum revenue. Also find the revenue function R, if the initial revenue is 0.

Find the area between the curve y²(4-x) = x³ and its asymptote parallel to y-axis.

Let f and g be two functions defined on R by:

i) Find the value of αfor which f is continuous at x = − .3

ii) Find all the roots of f(x) = 0.

For any two sets S and T, show that:

S∪T = (S − T ) ∪ ( S ∩ T) ∪ (T − S).

Depict this situation in the Venn diagram.

Evaluate:

Find the least value of a² sec² x + b² cosec²x, where a > 0,b>0.