माना कि और , जाँच कीजिए कि । आगे दिखाइये कि

मान लीजिए F एक क्षेत्र है और f(x) ∈ F [x] F[x] में अखन्डनीय है। दिखाइए कि    एक उच्चिष्ट गुणजावली है। इस्का प्रयोग करके दिखाइए कि एक क्षेत्र है।

U (15) में प्रत्येक अवयव की कोटि निकालिए। क्या U (15) चक्रीय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

यदि H और K एक समूह का प्रसामान्य आबेली उपसमूह हैं और H  K = {e}, तो दिखाइये कि HK आबेली है। क्या यह निष्कर्ष प्रतिबन्ध, H और K प्रसामन्य होना छहिए, हटाने पर भी सत्य होगी? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

बहुपद x⁴ + 3x + 2 और x³ + 3x² + 5x + 3 का gcd निकालिए।

मान लीजिए  जाँच कीजिए कि   का उपवलय है। क्या गुणजावली है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।

दिखाइये कि, यदि G एक समूह है और a ∈ G, तो o(a) | o(G). आगे दिखाइये प्रत्येक a ∈ G के लिये a°^(G) = e. ऑयलर-फर्मा प्रमेय, प्रत्येक   के लिए     भी दर्शाइये।

निम्नलिखित को परिकलित कीजियेः

(i)

(ii) 

एक पूर्णांकीय प्रान्त को परिभषित कीजिये। एक पूर्णांकीय प्रान्त का उदाहरण दीजिये जो क्षेत्रे न हो।

मान लीजिये R एक वलय है जिस्में प्रत्येक a ∈ R के लिये a² = a. दिखाइये कि a = -a और R क्रम विनिमेय है।

मान लीजिये :

(i) पुष्टि की साथ R में एक शून्य भावी अवयव दीजिये।

(ii) पुष्टि की साथ R में एक शून्य का भाजक दीजिये जो शून्य भावी न हो।

(iii) U(R) की कोटि क्या है?

यदि एफ एक क्षेत्र है, तो दिखाइये कि U (F[x])* =F* .

मान लीजिये = (125), β = (1432) ∈ S₅. σ = αβ^-1 परिकलित कीजिये। σ को पक्षान्तरण के गुणनफल के रूप में लिखिए। σ का चिह्नक क्या है?

मान लीजिये A एक 3 x 4 वास्तविक आव्यूह है, B एक 4 x 2 आव्यूह है। निम्नलिखित में से कौन-सी संक्रियाएँ साध्य हैं?

(i) CA + B^t

(ii) AB + C^t

जो संक्रियाएँ परिभाषित है उनमें प्राप्त आव्यूह की कोटि क्या होगि ?

मान लीजिये S = {1,2,3,4) और द्वि-आधारी सम्क्रिया ⋆ a ⋆ b = a द्वार परिभाषित है। (S, ⋆) की कैली सारणी बनाइये। क्या a सहचर्य है? क्या ⋆ क्रमविनिमेय है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

लैग्रान्ज प्रमेय बताइये। एक कोटि 12 वाली समूह की उपसमूहों की कोटियाँ क्या हो सक्ती हैं?

एक अर्ध-समूह को परिभाषित कीजिये। एक अनन्त अर्ध-समूह का उदाहरण दीजिये।

एक समूह का उपसमूह परिभाषित कीजिये। जाँच कीजिये किः

योग के सापेक्ष  पर 2 x 3 आव्यूहों का समूह का उपसमूह है।

एक आबेली समूह को परिभाषित कीजिये। एक अनबेली समूह का उदाहरण दीजिये। (आपको आपका उदाहरण समूह स्थपित करने की ज़रूरत नहीं है, अनबेली स्थापित करना पर्याप्त है ।)

एक समुच्चय जिसका कोई सीमा बिन्दु नहीं है।