)  द्वारा परिभाषित R फलन फ: R आर के जिस भी सबसे बड़े f : R → R समुच्चय पर सतत् है वह निकालिए।

यदि y=e^m sin ^-1 X है, तो दर्शाइए कि है। इस प्रकार लाइब्नित्ज के सूत्र का प्रयोग करके   का मान निकालिए।

वह प्रतिबंध ज्ञात कीजिए कि वक्र ax² by² =1 और a x² + b y ² = 1 एक-दूसरे को लम्बवत् प्रतिच्छेद करते हैं।

चक्रज x = α(θ −sinθ),y = α 1( − cosθ) की लम्बाई ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि रेखा θ = 2π/3 इसे 1:3 के अनुपात: में विभक्त करती है।

वक्र y² (x + 1) = x² (3 - x) का आरेखण कीजिए और ऐसा करने के लिए प्रयोग किए गये गुणधर्म भी लिखिए।

वक्र y²(4-x) = x³ और इसकी y-अक्ष के समांतर अनंतस्पर्शी के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

6. a) यदि एक आय फलन द्वारा दिया गया है, जहाँ x निवेश है, तो

अधिकतम आय ज्ञात कीजिए। यदि प्रारम्भिक आय 0 है, तो आय फलन R भी ज्ञात कीजिए।

R पर और  ज

और 

द्वारा परिभाषित दो फलन f और g लीजिए।

i) अ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए फ, ऍक्स = -3 पर सतत् है।

ii) f(x) = 0 के सभी मूल ज्ञात कीजिए।

दो समुच्चयों S और T के लिए दर्शाइए किः

 S∪T = (S − T ) ∪ ( S ∩ T) ∪ (T − S).

है। वेन आरेख में भी स्थिति दर्शाइए।

)  का मान ज्ञात कीजिए।

a² sec² x + b² cosec²x, जहाँ a > 0,b>0. हैं, का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

को आंशिक भिन्नों के योग में व्यक्त कीजिए।

यदि If z-1+2i|= 4 है, तो दर्शाइए कि बिन्दु z+i एक वृत्त निरूपित करता है। इस वृत्त को खींचिए।

f(x) = द्वारा परिभाषित फलन f का प्रांत ज्ञात कीजिए I

b) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय B और उस पर सामान्य जोड़ (+) तथा सामान्य गुणनफल (.) दिए गये हैं। (*), R पर निम्नलिखित से परिभाषित है :

क्या (*), R सहयोगी है? क्या (.), R में (*) पर वितरित है? जाँच कीजिए।

निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से असत्य हैं? अपने उत्तर के पक्ष में एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रति-उदाहरण दीजिए।

a) समुच्चय {S ∈R :x² - 3x + 2  = 0} एक अपरिमित समुच्चय है।

b) अधिकतम पूर्णांक फलन, आर पर सतत् होता है।

c)

d) प्रत्येक समाकलनीय फलन एकदिष्ट होता है।

e) परिमेय संख्याओं के समुच्चय क, पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

Find the orthogonal canonical reduction of the quadratic form  and ts principal axes. Also, find the rank and signature of the quadratic form.

Apply the Gram-Schmidt diagonalisation process to find an orthonormal basis for the subspace of C4 generated by the vectors

Let  represent the coordinates with respect to the bases B₁ = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)}, B₂ = {(1,0,0), (0,1,2), (0,2,1)}. If  find the representation of Q in terms of

Are there values of a ∈ C for which the matrix

is unitary? Justify your answer.

Find the values of a, b ∈ C for which the matrix

is Hermitian.

Using the fact that det(AB) = det(A) det(B) for any two matrices A and B, prove the identity