For any two sets A and B, in a universal set U, prove that B ⊆ A ⇔  A U B = A.

Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so. For instance, to show that '{1, padma, blue} is a set' is true, you need to say that this is true because it is a well-defined collection of 3 objects.)

i) The collection of Venn diagrams is a set.

ii) (A\B) UC=A\(B∩C) for any three sets A, B and C.

iii) If ze R, then |z|=z.

iv) x^m + a₁ x^{m -1}+ ....a_m-1 x + a_m = 0, a_i ∈ R∀ i = 1, ..., m, has a root in R only if m is an odd number.

v) x > 0 is necessary for x+3>1.

vi) Any system of three linear equations in two variables has no solution.

vii) If a matrix has n² entries, where n∈ N, then it is a square matrix.

viii) For n > 4, the AM of the first n natural numbers is greater than n +1.

एक श्रेणी का पहला और आखरी पद क्रमशः 4 और 76 हैं। श्रेणी का योगफल 1920 है। श्रेणी के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

f(x, y) = ax² + 2hxy+by² के लिए आइलर प्रमेय सत्यापित कीजिए।

निम्नलिखित आँकड़ों से X और Y के बीच सहसंबंध गुणांक ज्ञात कीजिए :

 के लिए E(x) और V(x) ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित आँकड़ों से y = 70 का मान आकलित कीजिए :

हल कीजिए: (1-sin x tan y)dx+(cos x sec² y)dy = 0.

चार बिंदुओं A, B, C और D के स्थिति सदिश क्रमशः 2 + 4k, 5i+3√3j+4k, - 2√3+ और 2i+k हैं। हैं। दर्शाइए कि AB, CD के समांतर है तथा CD =2/3 AB है।

जब 7 सिक्कों को 1000 बार उछाला जाता है, तो 4 चित और 3 पट कितनी बार आयेंगे?

उस समतल की समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों x+2y+3z = 4 और 4x+3y+2z+1=0 के प्रतिच्छेदन बिंदु से तथा मूल बिंदु से गुजरता है।

  का मान ज्ञात कीजिए।

यदि x+y = 6 है, तो x² + y² का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

यदि x का p.d.f., f(x) = 2x^k,0<x<1 है, तो k का मान और x का S.D. ज्ञात कीजिए।

एक दिये गये आँकड़े के लिए 100 प्रेक्षणों का माध्य और S.D. क्रमशः 40 और 5.1 हैं। बाद में यह पाया गया कि एक प्रेक्षण गलती से 40 के बजाय 50 लिखा गया। सही माध्य और S.D ज्ञात कीजिए।

sin x का tan x के सापेक्ष अवकलन ज्ञात कीजिए।

   ज्ञात कीजिए।

 निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य और कौन-से कथन असत्य हैं? अपने उत्तर के पक्ष संक्षिप्त उपपत्ति या प्रति-उदाहरण दीजिए :

i) n = 6 और P(X = 4) = P(X = 2) वाले द्विपद बंटन का माध्य 3/2 है। 

ii) मध्याहृता मध्यिका के परितः न्यूनतम होता है।

iii) 6x³ -7y³ + 4xy का वह प्रांत, जहाँ यह सतत् है, - ∞ <x<∞,0<y<∞ है।

iv) 

v) F(x) का CDF F(-∞) = 0, F(x) = 1, x का एक अहासमान फलन, द्वारा परिभाषित है।

The first and last term of a series are 4 and 76 respectively. The sum is given to be 1920. Find the number of terms in the series.

Verify Euler's theorem for: