IGNOU MTE 4 SOLVED ASSIGNMENT

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MTE 04 (January 2025 - July 2025) - ENGLISH

ASSIGNMENT

Course Code: MTE-04

Assignment Code: MTE-04/TMA/2025

Maximum Marks: 100

1) Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so. For instance, to show that '{1, padma, blue} is a set' is true, you need to say that this is true because it is a well-defined collection of 3 objects.)

i) The collection of Venn diagrams is a set.

ii) (AB) UC=A(B∩C) for any three sets A, B and C.

iii) If ze R, then |z|=z.

iv) x^m + a₁ x^{m -1}+ ....a_m-1 x + a_m = 0, a_i ∈ R∀ i = 1, ..., m, has a root in R only if m is an odd number.

v) x > 0 is necessary for x+3>1.

vi) Any system of three linear equations in two variables has no solution.

vii) If a matrix has n² entries, where n∈ N, then it is a square matrix.

viii) For n > 4, the AM of the first n natural numbers is greater than n +1.

2) a) For any two sets A and B, in a universal set U, prove that B ⊆ A ⇔  A U B = A.

b) Draw a Venn diagram of sets A, B and C where A⊆B, A∩C, BOC≠ φ.B, ∩ C = φ. What is the universal set you have chosen? Justify your choice of sets in the diagram.

c) Find x and y, given that (5x + y, 3x - y) = (2, 2x)∈QxQ.

3) a) Express z = 2/-4-i  in standard (algebraic) form. Further, give an Argand diagram in which z, Z and -z are plotted.

b) Obtain the polar and exponential representations of z₁, z₂ and z₁z₂, where z₁ = 1/2 - i and z₂ = 3+i

c) Apply De Moivre's theorem to write (√5+i) in the form a + ib, with a, b ∈ R.

d) Find the sum of the 5^th roots of unity.

4. a) Find the polynomial over R of least degree which has i-2 and √3+5i as its roots.

b) Obtain the discriminant of the equation 2x³ - 23x²+82x-78=0. Hence provide the nature of its roots.

c) Find the roots of the equation 2x³-x2-22x-24=0, if two of them are in the ratio 3:4.

d) Solve x4-8x3+21x220x+5=0 given that the sum of two of its roots is 4.

5.

a) The annual bonus given to the employees of a company is 10% of their taxable incomes, after the state and central taxes are deducted. The state tax is 15% of taxable income. The central tax is 15% of taxable income after deducting the state tax. Formulate this situation for determining the bonus, as a linear system.

b) Apply the Gaussian elimination process to determine values of λ for which the following linear system is consistent:

x-3y+4=0, 3x - 2y = λ, y = 6-2x.

c) Solve by substitution, the system you have obtained in 5(a).

6. 

a) Give examples, with justification, of the following:

i) two non-zero, 3×3 matrices A and B , with A| = 0  |B| = 5/7 i;

ii) two non-singular 2× 2 matrices C and D , with |C| = √2| D |.

b) Is Cramer's Rule applicable for solving the linear system below? If yes, apply it. Otherwise, alter the last equation in the system so that the solution can be obtained by applying the Rule.

x + y + z = π

– πχ + π + √2z = 0

π²x + π²y + 2z = 0.

7. a) Show that 

b) Prove that 

c)  Let x ∈ R such that 0 < x ≤ x ≤...≤x, n ≥2, and

  Then show that 

d) Write an odd natural number as a sum of two integers m, and m₂, in a way that m₁m, is maximum.

MTE 4 2026 - English

ASSIGNMENT

Course Code: MTE-04

Assignment Code: MTE-04/TMA/2026

Maximum Marks: 100

1) Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so. For instance, to show that ‘{1, padma, blue} is a set’ is true, you need to say that this is true because it is a well-defined collection of 3 objects.)

i) Eliminating z from , and gives .

ii) The roots of are given by .

iii) .

iv) Given any n positive numbers in , the product of their harmonic mean and their arithmetic mean is 1.

v) If A and B are two sets such that is empty, then either or .

vi) For any .

vii) The geometrical representation of the set is a point.

viii) Any finite set is a subset of .

ix) Every biquadratic equation has at least one real root.

x) The converse of the statement, ‘Every student of MTE-04 has completed FST-01’, is ‘Every student of FST-01 has completed MTE-04’.

2) a) Show that .

b) Let . Show that .

3) a) Using the discriminant, give the nature of the roots of . Also solve the equation.

b) Find the cubic equation whose roots are the cubes of the roots of .

c) Obtain the resolvent cubics, by Descartes’ method and by Ferrari’s method, of the equation . Are the cubics the same? Further, use either method to obtain the roots of this equation.

4) a) If A and B are the set of even integers and set of odd integers, respectively, find and .

b) i) Find , and the number of elements in it, where

, and

.

ii) Given any two sets C and D, under what conditions on them will and have the same number of elements? Give reasons for your answer.

c) Express the following situation in a Venn diagram:

In a survey of 60 women, it is found that 25 have studied upto Class 12 only, 10 have studied till Class 10 only, 26 got scholarships, 9 of those studying till Class 12 got scholarships, 8 of those studying till Class 10 got scholarships, and 11 had completed their BA degree.

5. In the context of your IGNOU studies, give the following:

i) an example of an implication;

ii) the converse of your statement in (i) above;

iii) the contrapositive of your statement in (i) above;

iv) a statement using ;

v) a statement using .

6. a) Give the following:
i) a matrix;
ii) the transpose of the matrix in (i) above;
iii) a system of linear equations represented by , where A is the matrix in (ii) above.

b) Consider the linear system



Give the **two reasons** for Cramer's Rule being applicable for solving this system. Also use the rule to solve the linear system.

7. a) Find the values of for which ai is a solution of . Also find all the roots of this equation.

b) Find all the roots of 3i - 3. Also show any one of them in an Argand diagram.

8. a) Using the method of substitution, obtain the solution set in , of the following:

i)

ii)

iii)

b) Give a real life situation problem, which is mathematically translated into

.

Also, explain how this linear system models your problem.

MTE 4 2025 - Hindi

सत्रीय कार्य

कोर्स कोड: एम टी ई-04

असाइनमेंट कोड एम टी ई 04/ टी एम ए/2025

अधिकतम अंक : 100

1. निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य है? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो यह दर्शाए कि कथन असत्य है। यदि वह सत्य है, तो ऐसा कहने की एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए। उदाहरणार्थ, यह दर्शाने के लिए कि {1, पदमा, नीला एक समुच्चय है' सत्य है, आपको यह कहने की आवश्यकता है कि यह सत्य है, क्योंकि यह तीन वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है।)

i) वेन आरेखों का संग्रह एक समुच्चय है।

ii) , किन्हीं तीन समुच्चयों A, B और C के लिए।

iii) यदि , तो | है।

iv)   का में केवल तभी मूल होता है जब m एक विषम संख्या हो।

v) x+3>1 के लिए x > 0 आवश्यक है।

vi) दो चरों में तीन रैखिक समीकरणें के किसी भी निकाय का कोई हल नहीं होता है।

vii) यदि किसी आव्यूह में n² प्रविष्टियाँ हैं, जहां n ∈ , तो वह एक वर्ग आव्यूह है।

viii) n > 4 के लिए, प्रथम n प्राकृत संख्याओं का आम, n+1 से बड़ा होता है। 

2. (क) एक समष्टीय समुच्चय U में किन्हीं दो समुच्चयों A और B के लिए, सिद्ध कीजिए कि

         

(ख) समुच्चयों A, B और C को एक वेन आरेख में दीजिए, जहां  है। आपने समष्टीय समुच्चय क्या चुना? आरेख में अपने चुनाव की पुष्टि कीजिए। 

(ग) दिया रहने पर x और y ज्ञात कीजिए।

3. (क) को मानक (बीजीय) रूप में व्यक्त कीजिए। आगे, एक आरगां आलेख दीजिए जिसमें और -z किए गए हों। 

(ख) z₁, z₂ और z₁,z₂ के ध्रुवीय और घातांकीय निरूपण प्राप्त कीजिए, जहां  और z₂ = 3+ i हैं।

(ग)  को a+ib के रूप में लिखने के लिए द मुआव्र प्रमेय को लागू कीजिए, जहां 

4. (क) न्यूनतम घात वाला पर एक बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके मूल i - 2 और   हों।

(ख) समीकरण का विविक्तकर प्राप्त कीजिए। इस तरह, इसके मूलों की प्रकृति बताइए।

(ग) समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए, यदि इनमें से दो में अनुपात 3:4 है।

(घ)  को हल कीजिए, जबकि दिया है कि इसके दो मूलों का योग 4 है।

5. (क) किसी कंपनी के कर्मचारियों को दिए जाने वाला बोनस उनकी राज्य और केन्द्र के कर काटने के बाद कर योग्य आय का 10% है। राज्य का कर कर योग्य आय का 15% है और केन्द्र का कर राज्य का कर काटने के बाद कर योग्य आय का 15% है। एक रैखिक निकाय के रूप में बोनस को निर्धारित करने के लिए इस स्थिति का सूत्रीकरण कीजिए।

(ख)  के वे मान निर्धारित करने के लिए जिनके लिए निम्नलिखित रैखिक निकाय संगत है, गाउसीय निराकरण प्रक्रिया का प्रयोग कीजिए:

(ग) जो निकाय आपने 5 (क) में प्राप्त किया है उसे प्रतिस्थापन द्वारा हल कीजिए।

6. क) पुष्टि के साथ, निम्नलिखित के उदाहरण दीजिए :

i) दो शून्येतर 3 x 3 आव्यूह A और B, जिनके लिए | A | = 0, | B | 

ii) दो ऐसे व्युत्क्रमणीय 2 x 2 आव्यूह C और D जिनके लिए, | C | = √2 | D |.

ख) क्या नीचे दिए रैखिक निकाय को हल करने के लिए क्रेमर नियम लागू होता है? यदि हाँ, तो इसका प्रयोग कीजिए। अन्यथा निकाय के अंतिम समीकरण को बदल दीजिए, ताकि निकाय का हल इस नियम से प्राप्त हो जाए।

                           

7. क) दर्शाइए कि      के लिए।

ख) सिद्ध कीजिए कि जहां एक्स, x, y, z > 0 .

ग) मान लीजिए कि    इस प्रकार है कि तथा   है। तब, दर्शाइए कि

घ) किसी विषम प्राकृत संख्या को दो पूर्णांकों m₁, और m₂ के योग के रूप में इस प्रकार लिखिए कि ,m₁m₂ अधिकतम हो।

 

MTE 4 2026 - Hindi

सत्रीय कार्य

पाठ्यक्रम कोड: MTE-04

सत्रीय कार्य कोड : MTE-04/टी एम ए/2026

अधिकतम अंक: 100

1) निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए। उदाहरण के लिए, यह दर्शाने के लिए कि '{1, पदमा, नीला} एक समुच्चय है' एक सत्य कथन है, आपको यह कहने की आवश्यकता है कि यह सत्य है, क्योंकि यह तीन वस्तुओं का एक सुपरिभाषित संग्रह है।) 

i) , और में से z के निराकरण से प्राप्त होता है।

ii) के मूल द्वारा दिए जाते हैं।

iii) .

iv) में कोई भी n धनात्मक संख्या हों, तो उनके हरात्मक माध्य और समांतर माध्य का गुणनफल 1 होता है।

v) यदि A और B दो ऐसे समुच्चय हैं कि रिक्त समुच्चय है, तो या तो या होगा।

vi) किन्हीं के लिए।

vii) समुच्चय का ज्यामितीय निरूपण एक बिंदु होता है।

viii) कोई भी परिमित समुच्चय का एक उपसमुच्चय होता है।

ix) प्रत्येक चतुर्थांत समीकरण का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

x) कथन 'एम.टी.ई-04 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एफ.एस.डी-01 पूरा कर लिया है', का विलोम है 'FST-01 के प्रत्येक विद्यार्थी ने एम टी ई-04 पूरा कर लिया है' ।


2) क) दर्शाइए कि .

ख) मान लीजिए कि . दर्शाइए कि .


3) क) विविक्तकर का प्रयोग करते हुए, के मूलों की प्रकृति बताइए। इस समीकरण को हल भी कीजिए।

ख) वह त्रिघात समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके मूल के मूलों के घन हैं।

ग) समीकरण के साधक त्रिघाती देकार्त की विधि तथा फ़ेरारी की विधि द्वारा प्राप्त कीजिए। क्या दोनों त्रिघाती समान हैं? साथ ही, इनमें से किसी एक विधि द्वारा इस समीकरण के मूल प्राप्त कीजिए।

4) क) यदि A और B क्रमशः समपूर्णांकों और विषम पूर्णांकों के समुच्चय हैं, तो और ज्ञात कीजिए।

ख) i) , तथा इसमें अवयवों की संख्या, ज्ञात कीजिए, जहां
, तथा
.

ii) दो समुच्चय C और D, दिए रहने पर, उन पर किन प्रतिबंधों के अधीन और में अवयवों की संख्या समान होगी? अपने उत्तर के कारण दीजिए।

ग) निम्नलिखित स्थिति को वेन आरेख में व्यक्त कीजिए :

60 महिलाओं के एक सर्वे से ज्ञात हुआ कि 25 केवल कक्षा 12 तक पढ़ी हैं; 10 केवल कक्षा 10 तक पढ़ी हैं; 26 को छात्रवृत्ति मिली है; कक्षा 12 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 9 को छात्रवृत्ति मिली है, कक्षा 10 तक पढ़ने वाली महिलाओं में से 8 को छात्रवृत्ति मिली है तथा 11 ने बी ए की डिग्री पूर्ण कर ली है।

5. अपने इग्नू अध्ययन के संदर्भ में निम्नलिखित दीजिए :

i) निहितार्थ का एक उदाहरण;

ii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का विलोम;

iii) उपरोक्त (i) में दिए गए अपने कथन का प्रतिधनात्मक;

iv) का प्रयोग करते हुए एक कथन;

v) का प्रयोग करते हुए एक कथन;

6. क) निम्नलिखित दीजिए :

i) एक आव्यूह;

ii) उपरोक्त (i) के आव्यूह का परिवर्त;

iii) , द्वारा निरूपित रैखिक समीकरणों का एक निकाय, जहां A उपरोक्त (ii) में दिया आव्यूह है।

ख) रैखिक निकाय

पर विचार कीजिए। इस निकाय में क्रेमर नियम क्यों लागू होता है, इसके दो कारण दीजिए। साथ ही, निकाय को हल करने के लिए, इस नियम का प्रयोग कीजिए।

7. क) के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए ai समीकरण का एक हल है। साथ ही, इस समीकरण के सभी मूल भी ज्ञात कीजिए।

यहाँ पांचवीं छवि में दिए गए पाठ का लिखित रूप है:

ख) 3i - 3 के सभी आठवें मूलों को ज्ञात कीजिए। साथ ही, इनमें से किसी एक को एक आरगां आलेख में दर्शाइए।

8. क) प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करते हुए, निम्नलिखित के में हल समुच्चय प्राप्त कीजिए:

i)

ii)

iii)

ख) वास्तविक जीवन की स्थिति की एक ऐसी समस्या दीजिए, जिसका गणितीय सूत्रीकरण है

यह भी स्पष्ट कीजिए कि यह रैखिक निकाय आपकी समस्या का एक प्रतिदर्श कैसे है।

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Course Code	BSC
Programm	Courses
Language	English

 

 

 

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