Consider the set . Define * onX by
.
Let (X=\mathbb{R}\setminus{-1}) and define (x_1*x_2=x_1+x_2+x_1x_2) for all (x_1,x_2\in X). First note that (x_1*x_2=(1+x_1)(1+x_2)-1). Since (x_1\neq -1) and (x_2\neq -1), we have (1+x_1\neq 0) and _____ ____ ___ ___ ______ __________ _____ _____ _________ __________ ______.
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दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।
समूह , के अवयवों और इसकी संरचना को स्पष्ट रूप में दीजिए।
Let and
क) द्वारा
पर एक संबंध R परिभाषित कीजिए। जाँच कीजिए कि R एक तुल्यता संबंध है या नहीं। यदि है, तो सभी अलग-अलग तुल्यता वर्ग ज्ञात कीजिए। यदि R एक तुल्यता संबंध नहीं है, तो
पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित कीजिए। (5)
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(ग) मान लीजिए कि G कोटि वाला एक समूह है, जिसके केवल दो उपसमूह हैं -
और स्वयं G. G के लिए एक अल्पिष्ठ जनक समुच्चय ज्ञात कीजिए। साथ ही, यह भी ज्ञात कीजिए कि क्या n एक अभाज्य संख्या है, या भाज्य संख्या है, या दोनों में से कोई भी हो सकती है।
Let . Check whether D is a UFD or not.
Let G be a group of order 56. What are all its Sylow p-subgroups? Show that G is not simple, i.e., G must have a proper normal non-trivial subgroup.