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वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $\mathbb{R}$ कलन (Calculus) की आधारशिला है, क्योंकि यही वह मंच है जहाँ सीमा, सततता, अवकलन और समाकलन जैसे विचार सुस्पष्ट रूप से परिभाषित होते हैं। $\mathbb{R}$ पर सामान्य जोड़ $(+)$ और सामान्य गुणनफल $(\cdot)$ के साथ हमें एक क्रमित क्षेत्र (ordered field) मिलता है जो पूर्णता (completeness) गुण से युक्त है। जोड़ और गुणन के लिए संयोज्यता, साम्य, वितरण, पहचान और प्रत्यावर्त (inverse) जैसे क्षेत्रीय स्वयंसिद्ध $\mathbb{R}$ में सत्य हैं; साथ ही कुल क्रम $\le$ और न्यूनतम ऊपरी सीमा (least upper bound) का अस्तित्व इसे उन गणितीय निर्माणों से अलग करता है जहाँ सीमाएँ केवल औपचारिक रहती हैं। पूर्णता के कारण हर कॉशी अनुक्रम $\mathbb{R}$ में सन्निकट होकर किसी वास्तविक संख्या पर अभिसरित होता है, जो सीमा की अवधारणा को ठोस बनाता है। सीमा की $\varepsilon$-$\delta$ परिभाषा इसी पूर्णता और क्रम पर टिकी है: यदि $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ और $a\in\mathbb{R}$, तो $\lim_{x\to a} f(x)=L$ का अर्थ है कि हर $\varepsilon>0$ के लिए कोई $\delta>0$ ऐसा है कि $|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon$। यह परिभाषा केवल बीजीय क्रियाओं से नहीं, बल्कि $\mathbb{R}$ पर मीट्रिक $|x-y|$ के अर्थपूर्ण होने से आती है, और यही $\mathbb{R}$ को $\mathbb{Q}$ से आगे ले जाती है, जहाँ कटों या कॉशी वर्गों द्वारा $\mathbb{R}$ का निर्माण किया जाता है। सीमा के नियम—रेखीयता, गुणन, भाग, समिश्रण—सीधा-सीधा जोड़ व गुणन की अनुकूलता और क्रम के गुणों से सिद्ध होते हैं, जिससे संमिश्र फलनों की सीमाएँ निकालना संभव होता है। सततता का विचार सीमा से अभिन्न ________ _________ ___ _______ ____ ____ ________ ___.
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