निम्नलिखित आद्य रैखिक प्रोग्रामन (एलपी) समस्या की द्वैती प्राप्त कीजिए :
का अधिकतमीकरण कीजिए
जबकि
दी गई रैखिक प्रोग्रामन समस्या का द्वैतीय (Dual) प्राप्त करने के लिए सबसे पहले मूल (Primal) समस्या को समझना आवश्यक है। मान लीजिए मूल समस्या अधिकतमीकरण (Maximization) है और इसे इस रूप में दिया गया है: मूल समस्या (Primal LP): अधिकतम करें: ( Z = c_1 x_1 + c_2 x_2 + \dots + c_n x_n ) बाधाएँ: [ \begin{align*} a_{11}x_1 __________ ______ ______ __________ ___ _________ _______.
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बताइए निम्नलिखित कथनों में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रत्युदाहरण द्वारा कीजिए
a) परिमित संख्या में अवमुख समुच्चयों का सर्वनिष्ठ अवमुख नहीं होता है।
b) यदि आव्यूह खेल
का मान 4 हो, तो
।
c) यदि किसी नियतन समस्या में लागत आव्यूह की प्रत्येक प्रविष्टि में 10 जोड़ा जाए, तो परिवर्तित लागत आव्यूह के लिए इष्टतम नियतन की कुल लागत में 10 की वृद्धि हो जाएगी।
d) किसी अधिकतमीकरण रैखिक प्रोग्रामन (LP) निदर्श में, जब सभी मान हों, तो एकधा विधि सम्पन्न हो जाती है।
e) एक परिवहन समस्या में अपभ्रष्ट हल से बचने के लिए काल्पनिक (dummy) स्रोत या गंतव्य जोड़ा जाता है।
Solve the following LPP graphically:
Maximize:
$
subject to the constraints:$
$
$
b) Find all values of k for which the vectors:$
are linearly independent.
Write the LPP formulation of the following assignment problem:
b) Solve the following game graphically:
A company makes two kinds of leather belts. Belts A is high quality belt and belt B is of lower quality. The respective profits on A and B are ₹ 4 and ₹ 3 per belt. The production of each type A requires twice as much time as a belt. The production of each type of type B, and if all belts were of type B, the company could make 1000 belts per day. The supply of leather is sufficient for only 800 belts per day (both A
and B combined). Belt A require a fancy buckle and only 400 buckles per day are available. There are only 700 buckles a day available for belt B. What should be the daily production of each type of belt? Formulate this problem as an LP model and solve it by the graphical method.
b) Find the initial basic feasible solution of the following transportation problem using North-West Corner method.
A department has five employees with five jobs to be performed. The time (in hours) each employee will take to perform each job is given in the following matrix. How should the jobs be allocated, one per employee, so as to minimize the total man hours?
b) For the following pay-off matrix, transform the zero-sum game into an equivalent linear programming problem:
. State which of the following statements are true and which are false. Give reasons for your answer with a short proof or a counter example.
a) The intersection of finite number of convex sets is not convex.
b) If value of the matrix game
is 4, then
.
c) If 10 is added to each of the entries of the cost matrix of a assignment problem, then the total cost of an optimal assignment for the changed cost matrix will increase by 10.
d) For maximization LP model, the simplex method is terminated when all values .
e) The dummy source or destination in a transportation problem is added to prevent solution from becoming degenerate.
) निम्नलिखित दो खिलाड़ी शून्य योग खेल को प्रमुखता सिद्धांत द्वारा खेल में समानीत कीजिए और इस प्रकार खेल को हल कीजिए।
