heck whether  is a subring of the ring  or not. If it is, check whether or not it is an ideal of the ring also. If I is not a subring of the ring, then provide a subring of the ring. 

 Let G be a group such that  is cyclic. Prove that G is abelian. 

Show that M is an ideal of R.

दर्शाइए कि M, R की एक गुणजावली है।

 Show that R/M is a field, and give two distinct non-zero elements of this field. 

Find a group G, and a homomorphism  of G, so that  and . Is G abelian? Give reasons for your answer.

जाँच कीजिए कि  वलय  का एक उपवलय है या नहीं। यदि है, तो जाँच कीजिए कि वह इस वलय की एक गुणजावली भी है या नहीं। यदि I इस वलय का एक उपवलय नहीं है, तो इस वलय का एक उपवलय दीजिए।