ग्रीन प्रमेय का कथनदीजिए और इसकी सहायता से
मान निकालिए जहाँ सी. दीर्घवृत
है।
ग्रीन प्रमेय (Green's Theorem) के अनुसार, यदि \( C \) एक बंद वक्र है और \( D \) वह क्षेत्र है जो \( C \) से घिरा हुआ है, तो किसी क्षेत्रीय द्विकरण \( P(x, y) \) और \( Q(x, y) \) के लिए प्रमेय इस प्रकार होता है: \[ \oint_C \left( P \, dx + Q \, dy \right) = _____ _____ _________ ____ _____ ________ ____ ___ ________.
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State a necessary condition for the functional dependence of two differentiable functions f and g on an open subset D of . Verify this theorem for the functions f and g, defined by
Does the function
satisfy the requirement of Schwarz’s theorem at (1,1) ? Justify your answer.
बिन्दु (1,2) पर फलन का तृतीय टेलर बहुपद ज्ञात कीजिए।
क्या निम्नलिखित फलन श्वार्ज-प्रमेय आवश्यकताओं को पर संतुष्ट करता है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
Let x er = cosθ, y = er sin θ and f be a continuously differentiable function of x and y, whose partial derivatives are also continuously differentiable. Show that
(0.0) पर निम्नलिखित फलन f के सांतत्य और अवकलनीयता की जाँच कीजिए, जहाँ
बताइए निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों के कारण बताइए।
(i)
(ii) तीन घरों वाला एक वास्तविक मान फलन, जो सर्वत्र संतत है, अवकलनीय होता है।
(iii)F(x, y) = ( y + ,2 x + y) से परिभाषित फलन किसी भी बिन्दु (x, y) ∈R2पर स्थानिकतः व्युत्क्रमणीय होता है।
(iv) है फ(एक्स,य)= 10, यदि वाइ परिमेय नहीं है. से परिभाषित फलन
समाकलनीय होता है।
(v) से परिभाषित फलन
का (0,0)पर एक चरम मान होता है।