क) मान लीजिए कि तथा
मान लीजिए (R=\mathbb{Z}[\sqrt{2}]={a+b\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}}) तथा (M={a+b\sqrt{2}\in R\mid 5\mid a \text{ तथा } 5\mid b})। स्पष्ट है कि (0=0+0\sqrt{2}\in M)। यदि (x=a+b\sqrt{2}) तथा (y=c+d\sqrt{2}) (M) के अवयव हैं, तो _______ __________ _________ _____ ____ ______ _________ _________ _______ _____ ___.
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मान लीजिए कि . जाँच कीजिए कि D एक UFD है या नहीं।
निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं? अपने उत्तरों की पुष्टि कीजिए। (इसका अर्थ है कि यदि आप सोचते हैं कि कोई कथन असत्य है, तो एक संक्षिप्त उपपत्ति या एक उदाहरण ऐसा दीजिए जो उसे असत्य दर्शाए। यदि यह एक सत्य कथन है, तो ऐसा कहने के लिए एक संक्षिप्त उपपत्ति दीजिए।)
i) , जहाँ
ऑयलर-फ़ाई फलन है।
ii) यदि G1 और G2 समूह हैं, तथा एक समूह समाकारिता है, तो
होगा।
iii) यदि G एक आबेली समूह है, तो G चक्रीय होगा।
iv) यदि G एक समूह है तथा , तो
होता है।
v) Sn के प्रत्येक अवयव की कोटि ज़्यादा से ज़्यादा n होती है।
vi) यदि R एक वलय है तथा R की एक गुणजावली I है, तो और
।
vii) यदि सम संख्या में असंयुक्त चक्रों का गुणनफल है, तो
होता है।
viii) यदि किसी वलय का एक मात्रक है, तो उसका केवल एक ही मात्रक होता है।
ix) परिमित क्षेत्र का अभिलाक्षणिक शून्य होता है।
x) [0, 1] से तक असंतत फलनों का समुच्चय बिंदुशः योग और गुणन के सापेक्ष एक वलय होता है।
Consider the map . Let
. Then B is a group with respect to the composition of functions. Check whether or not
is a normal subgroup of B.
Show that there are infinitely many values of for which
is irreducible in
.
Find a group G, and a homomorphism of G, so that
and
. Is G abelian? Give reasons for your answer.
) Define a relation R on , by
.
Check whether R is an equivalence relation or not. If it is, find all the distinct equivalence classes. If R is not an equivalence relation, define an equivalence relation on .
Prove that and
.