Let  be a finite abelian group and . Prove that

.

Check whether or not  is a subgroup of

i) ,       ii) 

Give an example, with justification, of a commutative subgroup of a non-commutative group.

 Prove that  and .

 Check whether (X, ) is a group or not.

Consider the set . Define *  onX by

.

) Define a relation R on , by .

Check whether R is an equivalence relation or not. If it is, find all the distinct equivalence classes. If R is not an equivalence relation, define an equivalence relation on .

Which of the following statements are true? Justify your answers. (This means that if you think a statement is false, give a short proof or an example that shows it is false. If it is true, give a short proof for saying so.) (20)
i) , where  is the Euler-phi function.
ii) If G₁ and G₂ are groups, and  is a group homomorphism, then .
iii) If G is an abelian group, then G is cyclic.
iv) If G is a group and , then .
v) Every element of S_n has order at most n.
vi) If R is a ring and I is an ideal of R, then  and .
vii) If  is a product of an even number of disjoint cycles, then .
viii) If a ring has a unit, then it has only one unit.
ix) The characteristic of a finite field is zero.
x) The set of discontinuous functions from [0, 1] to  form a ring with respect to point-wise addition and multiplication.

जाँच कीजिए कि  पर रैखिकता: स्वतंत्र समुच्चय है। (संकेत: समीकरण

 लीजिए।
 इत्यादि रखिए और a_i के हल कीजिए)

 जाँच कीजिए कि  पर रैखिकता: स्वतंत्र समुच्चय है। (संकेत: समीकरण

 मान लीजिए V ऐसे सभी फलनो का समुच्चय है जो  में दो बार अवकलनीय हैं और 

 मूल बिन्दु से समतल  के लंब की दिक्कोज्याएं ज्ञात कीजिए। 

जाँच कीजिए कि  के लिए  और  के लिए । 

जाँच कीजिए कि  द्वारा दिया गया  सुपरिभाषित और 1-1 है। इसके आगे जाँच कीजिए कि किसी  के लिए  है। 

जाँच कीजिए कि किसी  के लिए  है। 

जाँच कीजिए कि f(x) सुपरिभाषित और 1-1 है। 

 द्वारा परिभाषित फलन  लीजिए:

निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? लघु उपपत्ति या प्रति उदाहरण के साथ अपनी उत्तर की पुष्टि कीजिए।
i)  द्वारा परिभाषित फलन , 1-1 है।

ii)  द्वारा परिभाषित संक्रिया S पर द्वि-आधारी संक्रिया है जहाँ S समुच्चय  है।

iii) समुच्चय   की उपसमष्टि है।

iv) जाति 6 का कोई  आव्यूह नहीं होता।

v) यदि V और V' सदिश समष्टियाँ हैं और  रैखिक रूपांतरण है, तब जब भी  रैखिकता: स्वतंत्र होते हैं, तब  भी रैखिकता: स्वतंत्र होते हैं।

vi) यदि V एक सदिश समष्टि है और  वाला रैखिक सँकारक है, तब T विकर्णीय नहीं होता।

vii) एक  आव्यूह के अल्पिष्ठ बहुपद की कोटि अधिकतम 2 है।

viii)कोई भी  आव्यूह A के लिए ।

ix) केवल शून्य आव्यूह ऐसा आव्यूह है जो सममित और विषम सममित दोनों होता है।

x) कोई भी ऐसा निर्देशांक रूपांतरण नहीं है जो द्विघाती समघात x² + y² + z² को द्विघाती समघात xz + yz में रूपांतरित करता है।

 द्वारा परिभाषित फलन f के लिए अंतराल [2, 5] पर लैग्रांज माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए।

) यदि  है, तो दर्शाइए कि :

.
है। इस प्रकार  ज्ञात कीजिए।