निम्नलिखित LPP को हल करने के लिए एकधा विधि का प्रयोग कीजिए : 
 का अधिकतमीकरण कीजिए
जबकि :

तथा  ।

 एक फर्म तीन उत्पाद A, B और C बनाती है। यह दो प्रकार I और II का कच्चा माल प्रयोग करती है जिसकी क्रमशः 5000 और 7500 इकाइयाँ उपलब्ध हैं। प्रत्येक उत्पाद की इकाइयों के लिए आवश्यक कच्चा माल नीचे दिया गया है : 

तीनों उत्पादों की न्यूनतम माँग क्रमशः 600, 650 और 500 इकाइयाँ है। मान लीजिए कि A, B और C की प्रत्येक इकाई पर लाभ क्रमशः ₹ 50, ₹ 50 और ₹ 80 है। लाभ का अधिकतमीकरण करने वाली LPP सूत्रित कीजिए।
ख) निम्नलिखित LPP को ग्राफीय विधि से हल कीजिए : 
 का अधिकतमीकरण कीजिए जबकि :




तथा  ।

 निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं और कौन-से असत्य हैं?
अपने उत्तर के पक्ष में एक संक्षिप्त उपपत्ति या प्रति-उदाहरण दीजिए: (
i) यदि एक उत्पाद बार-बार ऑर्डर किया जाता है, तो स्टॉक की पुनरावृत्ति लागत का जोखिम कम होता है।
ii) एक पंक्ति निदर्श के हल के लिए, आगमन दर, सेवा दर से अधिक नहीं होनी चाहिए।
iii) एक परियोजना नेटवर्क का क्रांतिक पथ उस परियोजना को पूरा करने में लगे न्यूनतम काल को दर्शाता है।
iv) एक अधिकतमीकरण LPP के आधारी सुसंगत हल के लिए आवश्यक और अनिवार्य प्रतिबंध है कि सभी ।
v) यदि द्वैती अपरिबद्ध है, तो आद्य का सुसंगत हल होता है।

एक बॉक्स में 10 पेंच हैं, जिनमें से 3 खराब हैं। इसमें से यादृच्छिक रूप से 2 पेंच निकाले जाते हैं। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि इनमें से कोई भी पेंच खराब नहीं होगा, यदि प्रतिदर्श
(i) प्रतिस्थापन के साथ निकाला जाता है,
(ii) बिना प्रतिस्थापन के निकाला जाता है।
ग) एक अनुसंधानकर्ता एक घोल का तापमान पाँच बार मापता है। प्रेक्षण  हैं। तापमान का एक अनभिनत आकल ज्ञात कीजिए।

रेयॉन का एक निर्माता इस बात की तुलना करना चाहता है कि  सार्थकता के स्तर पर  का पराभव सामर्थ्य मिल रहा है या नहीं। वह निर्माता इसमें से एक प्रतिदर्श लेता है तथा परिकलित करता है कि इसका माध्य  है और मानक विचलन  है। इसके लिए उपयुक्त सांख्यिकीय परीक्षण कीजिए।

एक साबुन निर्माता यह निर्धारित करने का प्रयत्न करता है कि वह एक नए प्रकार के साबुन को बाज़ार में लाए या नहीं। वह संयुक्त राज्य अमेरिका से 300 व्यक्तियों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श चुनता है तथा इसी साइजों के प्रतिदर्श इंग्लैंड और फ्रांस से चुनता है। वह प्रत्येक प्रतिदर्श के प्रत्येक व्यक्ति से कहता है कि वह इस नए साबुन का प्रयोग करे और देखे कि वह इसे अन्य साबुनों की तुलना में अच्छा मानता है या नहीं। इससे प्राप्त परिणाम निम्नलिखित हैं :

5%  सार्थकता के स्तर का उपयोग करते हुए, इस परिकल्पना की जाँच कीजिए कि नए साबुन को पसंद करने वाले व्यक्तियों के समानुपात (या सादृश्य) में अंतर्राष्ट्रीय अंतर है।

ख) मान लीजिए कि अमरूद के कुल 120 पेड़ों में से 5 गुच्छे चुने जाते हैं जिनमें से प्रत्येक में 4 पेड़ हैं तथा इनका उत्पादन (kg में) नीचे दिया गया है :

प्रति पेड़ औसत उत्पादन और उसकी मानक त्रुटि का आकलन कीजिए

 एक कॉल सेंटर पर, कॉल करने वाले को तब तक प्रतीक्षा करनी होती है जब तक कि ऑपरेटर उनकी कॉल ग्रहण करने के लिए तैयार नहीं हो जाता। इस प्रक्रिया को सुचारू रूप से चलाने के लिए, 8 घंटे वाले कार्य दिवस में प्रति घंटे 5 कॉल रिकॉर्ड की गई। नीचे दिए गए आँकड़े सप्ताहों में प्रतीक्षा समय दर्शाते हैं :

 और R-चार्टों के लिए नियंत्रण सीमाएँ अभिकलित कीजिए।  और R के लिए नियंत्रण चार्ट खींचिए और अपने विचार प्रकट कीजिए।
ख) किसी अभिलक्षणिक के अध्ययन के लिए, जनसंख्या अभिगम के स्थान पर प्रतिदर्श अभिगम का प्रयोग करने के तीन लाभ और तीन हानियाँ लिखिए।

 एक कॉल सेंटर पर, कॉल करने वाले को तब तक प्रतीक्षा करनी होती है जब तक कि ऑपरेटर उनकी कॉल ग्रहण करने के लिए तैयार नहीं हो जाता। इस प्रक्रिया को सुचारू रूप से चलाने के लिए, 8 घंटे वाले कार्य दिवस में प्रति घंटे 5 कॉल रिकॉर्ड की गई। नीचे दिए गए आँकड़े सप्ताहों में प्रतीक्षा समय दर्शाते हैं :

 एक दूरदर्शन के प्रोग्राम के माध्यम से एक राज्य का विधायक (MLA) उस राज्य के मतदाताओं से यह पूछता है कि वे यह बताएँ कि उस विधायक को एक विशिष्ट विधेयक के पक्ष में मतदान करना चाहिए या विरोध में। उस विधायक के कार्यालय को 4100 उत्तर प्राप्त होते हैं। क्योंकि पश्चिमी भाग के मतदाताओं की प्रवृत्ति लोकतंत्र की ओर है और पूर्वी भाग के मतदाताओं की प्रवृत्ति साम्यवाद की ओर है, इसलिए वह विधायक प्राप्त उत्तरों में से 68% विधेयक के विरोध में हैं तथा पूर्वी भाग में उत्तरों में से 36% विधेयक के विरोध में हैं।

(i) क्या विधायक ने एक स्तरित प्रतिचयन किया था?
(ii) क्या विधायक ने एक स्तरित यादृच्छिक प्रतिचयन किया था?
(iii) आप इस प्रतिदर्श डिज़ाइन का औचित्य किस प्रकार दे सकेंगे?
(iv) आप इसमें सुधार के लिए क्या सुझाव देना चाहेंगे?

 निम्नलिखित सारणी 50 विद्यार्थियों द्वारा किसी सप्ताह में खेल के मैदान में व्यतीत किए गए घण्टों को दर्शाती है :

विद्यार्थियों द्वारा वांछित घण्टों के माध्य और मानक विचलन परिकलित कीजिए।

 क) यदि अनुभव से यह पता चलता हो कि  बल्ब खराब होते हैं, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 200 बल्बों वाले बक्से में अधिक-से-अधिक 5 खराब बल्ब मिलेंगे।

स्तरित सरल यादृच्छिक प्रतिचयन का प्रयोग करके एक फार्म हाउस पर 150 भेड़ों के झुंड से प्रति भेड़ ऊन का औसत वार्षिक उत्पादन का आकलन ज्ञात करना है। इसके लिए झुंड के भेड़ों को दिन में प्रथम शेविंग के आधार पर तीन स्तरों में वर्गीकृत करना होता है। यह माना जाता है कि तीन स्तरों से 25 भेड़ों के समग्र प्रतिदर्श का चयन करने के लिए प्रतिदर्श-नियतत की इष्टतम विधि का प्रयोग किया जाता है। निम्नलिखित प्रथम शेविंग पर प्राप्त सूचना के आधार पर सन्निकटतः इष्टतम स्तर परिसीमाएँ ज्ञात कीजिए : 

  और  ज्ञात कीजिए।
(ii) सत्यापित कीजिए A, B और C स्वतंत्र हैं या नहीं। कारण सहित अपने उत्तर बताइए। 

दो पासों को फेंकने वाली स्थिति लीजिए। मान लीजिए

A : एक विषम जोड़ पाने की घटना को प्रकट करता है,
B : पहले पासे पर एक (1) पाने की घटना को प्रकट करता है, तथा
C : दो पासों पर, सात का योगफल पाने की घटना को प्रकट करता है।

 हाथ की घड़ियों पर सोने का पानी चढ़ाने के लिए AiCl₃. नामक रासायनिक पदार्थ का प्रयोग किया जाता है। घोल में रसायन के सांद्रण का पता होना आवश्यक होता है। हमारा उद्देश्य एक ऐसे सांद्रण का प्रयोग करना है, जिससे कि सोने का लेपन एकसमान रूप से हो सके। चुने हुए तीन AiCl₃ के सांद्रण 5%, 15% और 20% थे। इन्हें घोल में मिला दिया गया और इससे लेपन किया गया और नीचे दिए गए 5 प्रतिदर्शों पर इनकी मोटाई (इकाई में) मापी गई जो कि निम्न है :

A_iCl₃ के सांद्रण से समान परिणाम प्राप्त होते हैं या नहीं, इस पर टिप्पणी देने के लिए ANOVA (यहाँ  का प्रयोग कीजिए) 
(ख) 11 विद्यालयों की एक समष्टि लीजिए जिससे साइज 3 के एक प्रतिदर्श का चयन करना है। वृत्तीय व्यवस्थित प्रतिचयन से सभी संभव प्रतिदर्शों की सूची बनाइए। 

9 और 8 साइजों के दो प्रतिदर्शों के माध्यों के प्रति विचलनों के वर्गों का योगफल क्रमशः 160 और 91 इंच वर्ग प्राप्त होता है। इस बात का परीक्षण कीजिए कि ये प्रतिदर्श समान प्रसामान्य समष्टि से लिए गए हैं या नहीं? (यहाँ  का प्रयोग कीजिए) 
(ख) 18,000 परिवारों वाले एक मुहल्ले से 840 परिवारों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श लिया गया है। इन 840 परिवारों के 206 परिवारों की मासिक आय 500 रू. या इससे कम है। 500 रू. या इससे कम आय वाले परिवारों का विश्वास्यता अंतराल ज्ञात कीजिए। 

एक साइकिल की दुकान 1990 से 2000 तक निम्नलिखित संख्या में साइकिलें बेचती है।

साइकिलों के बिक्री आंकड़ों से लंबाई 3 के प्रथम तीन गतिमान औसत अभिकलित कीजिए और इन्हें संगत वर्ष की पंक्ति में रखिए। 

उन जनसंख्याओं से 1200 लोगों और 900 लोगों के प्रतिदर्श लिए गए हैं जिनमें क्रमशः 30% और 25% गोरे बाल वाले लोग हैं। इस बात का परीक्षण कीजिए कि इस जनसंख्या से लिए प्रतिदर्श में अंतर बना रहता है या नहीं। (यहाँ  का प्रयोग कीजिए) (5)

अच्छी तरह से फेंटी गई ताश के 52 पत्तों की गड्डी से एक साथ बिना प्रतिस्थापन के दो पत्ते खींचे गए हैं। इक्कों की संख्या (x) का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। प्रायिकता बंटन का एक ग्राफीय निरूपण प्रस्तुत कीजिए।

1. नीचे 10 छात्रों द्वारा भौतिकी और गणित में (25 में से) प्राप्त किए गए अंकों का बंटन दिया गया है :

   क्रम सं.

 

सभी 10 छात्रों का एक प्रकीर्ण आरेख बनाइए और भौतिकी तथा गणित में प्राप्त किए गए अंकों के बीच का सहसंबंध गुणांक निकालिए।