Solve your IGNOU Doubts

Question:

Prove that every non-trivial subgroup of a cyclic group has finite index. Hence prove that $(\mathbb{Q}, +)$ is not cyclic.

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Question:

Find all solutions to the equation $\sin z = 5$ .

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Question:

If $p(z) = a_0 + a_1 z + \dots + a_{n-1} z^{n-1} + z^n (n \geq 1)$ , then show that there exists a real R > 0 such that $2^{-1} |z|^n \leq |p(z)| \leq 2 |z|^n$ for $|z| \geq R$ .

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Question:

Which of the following statements are true? Give reasons for your answers.
i) If a group G is isomorphic to one of its proper subgroups, then $G = \mathbb{Z}$ .
ii) If x and y are elements of a non-abelian group (G, ) such that $x y = y x$ , then $x = e$ or $y = e$ , where e is the identity of G with respect to $$.
iii) There exists a unique non-abelian group of prime order.
iv) If $(a, b) \in A \times A$ , where A is a group, then $o((a, b)) = o(a)o(b)$ .
v) If H and K are normal subgroups of a group G, then $hk = kh \quad \forall \quad h \in H, k \in K$ .

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Question:

Find the image of the circle $|z| = r (r \neq 1)$ under the mapping $w = f(z) = \frac{z - i}{z + i}$ . What happens when $r = 1$ ?

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Question:

Evaluate the following integrals:
i) $I = \int_{0}^{2\pi} f(e^{i\theta}) \cos^2(\theta/2) \, d\theta$ .

ii) $I = \int_{0}^{2\pi} f(e^{i\theta}) \sin^2 \theta/2 \, d\theta$

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Question:

साइक्लोहैक्सेनॉल का एक प्रतिदर्श का अवरक्त स्पेक्ट्रम रिकॉर्ड किया गया है। आप उस अवरक्त स्पेक्ट्रम में कौन-से मुख्य अवशोषण बैंडों को ढूंढेंगे?

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Question:

उपयुक्त आरेखों की सहायता से समझाइए कि अवरक्त स्पेक्ट्रम को अवशोषण विधा और पारगम्यता विधा में कैसे दर्शाया जाता है?

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Question:

$\alpha, \beta$ -असंतृप्त कीटोनों (ईनोनों) और ऐल्डिहाइडों में $\pi-\pi^</em>$ अवशोषण की प्रागुक्ति के फीजर-स्कॉट नियम की व्याख्या कीजिए।

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Question:

ब्रोमोबेन्जीन $(\text{C}_6\text{H}_5\text{Br})$ में किस प्रकार की सृति प्रेक्षित होते हैं?

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Question:

डाइईनों में $\pi-\pi^<em>$ अवशोषण की प्रागुक्ति के वुडवर्ड नियम समझाइए।

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Question:

वर्णोत्कर्षी सृति और वर्णापकर्षी सृति में क्या अंतर है?

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Question:

यदि किसी अभिक्रिया में इलेक्ट्रॉनस्नेही $\text{E}^+$ पिरिडीन की 2-स्थिति पर आक्रमण करे तो उत्पन्न मध्यवर्ती की अनुनाद संरचनाएँ लिखिए।

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Question:

पिरोल के व्यापारिक उत्पादन में शामिल अभिक्रिया और इसमें उपयोग होने वाले अन्य अभिकर्मकों को भी लिखिए।

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Question:

क्या नैफ्थलीन ऐरोमैटिक है? समझाइए।

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Question:

निम्नलिखित यौगिकों के नाम दीजिए:

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Question:

आप एथिल 3-ऑक्सोब्यूटेनोएट से 5-हैक्सीन-2-ओन किस प्रकार बनाएंगे? इसमें होने वाली अभिक्रियाएँ लिखिए और इसमें उपयोग होने वाले अन्य अभिकर्मकों को भी लिखिए।

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Question:

उपयुक्त आरेख की सहायता से हीमोग्लोबिन में ऑक्सीजन के आबंधन की क्रियाविधि का विवरण दीजिए और ऑक्सीहीमोग्लोबिन के निर्माण पर होने वाले संरचनात्मक परिवर्तनों पर चर्चा कीजिए।

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Question:

$\text{Na}^+-\text{K}^+$ पंप (सोडियम-पोटैशियम पंप बाईं और दिखाए गए $\text{Na}^+$ -और $\text{K}^+$ की आपेक्षिक सांद्रता के साथ संतुलन अवस्था की ओर बढ़ता है)।

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Question:

रक्त के थक्के जमने में किस धातु आयन की आवश्यकता होती है, और उस क्रियाविधि की व्याख्या कीजिए जिसके द्वारा यह थक्का बनने में सहायता करता है। वे विभिन्न तरीके बताइए जिनसे कैडमियम मानव शरीर को प्रभावित करता है।

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