व्यंजक  को सर्वनिष्ठ प्रसामान्य समघात और सम्मिलन प्रसामान्य समघात के रूप में लिखिए। 

किन्हीं भी प्राकृतिक संख्याओं n और k के लिए, सिद्ध कीजिए कि  होता है। 

 एक ऐसी कलन-विधि लिखिए जो किन्हीं दो दी हुई संख्याओं p और q, जहाँ , के बीच के सभी विषम पूर्णांकों के वर्गों का योगफल ज्ञात करती है। 

एक पासा दो बार फेंका जाता है, और उस पर आने वाली संख्याओं के योगफल का अवलोकन किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि यह योगफल या तो एक पूर्ण वर्ग है या एक पूर्ण घन है? 

यदि 2 सेमी. भुजा वाले एक वर्ग में 5 बिंदु चुने जाते हैं, तो दिखाइए कि इनमें से दो बिंदु ऐसे हमेशा होंगे जिनके बीच की दूरी अधिकतम  सेमी. होगी। 

एक बैंक आपको 4.5% प्रति वर्ष ब्याज देता है। इसके अतिरिक्त, (ब्याज के भुगतान के बाद) आपको वर्ष के अंत में 100/- रुपए का बोनस मिलता है। यदि आपने 2000 रुपए निवेश किए हैं तो आपको n वर्ष के उपरांत मिलने वाली धनराशि के लिए एक पुनरावृत्ति संबंध बनाइए। 

 यदि पुनरावृत्ति संबंध  का हल  है , तो  और f(n) के मान ज्ञात कीजिए। 

 निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन का विलोम लिखिए: 

i) यदि p एक अभाज्य संख्या है, और a और b दो प्राकृतिक संख्याएँ हैं, और p, a या b  को विभाजित करता है , तो p, ab को विभाजित करता है।

ii) एक त्रिभुज  में, यदि  है, तो  होगा।

 4 लाल और 8 हरी गेंदों वाले एक बस्ते से 2 हरी और 3 लाल गेंदें चुनने की प्रायिकता क्या है ? 

यदि p और q कोई भी कथन हैं, तो दर्शाइए कि कथन  एक सर्वसत्य कथन है। 

कथनों '2+3=5' और 'सूरज पश्चिम में उगता है।' पर विचार कीजिए। 

i) कथनों का वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

ii) कथनों का योग लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

iii) कथनों का अपवर्जी वियोजन लिखिए और इसका सत्य मान बताइए।

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य। अपने उत्तरों की पुष्टि एक लघु उपपत्ति या प्रतिउदाहरण देकर कीजिए। (20)
i) "x² + y² - 3, 4 से विभाज्य नहीं है।" एक गणितीय कथन है।
ii)  से  पर आच्छादित फलनों की संख्या 4! S₆⁴ है।
iii) किसी अनुक्रम का जनक फलन कभी भी एक बहुपद नहीं हो सकता।
iv)  है।
v) निकृष्टतम स्थिति में, वरणात्मक शाटन प्रविष्टि शाटन से तीव्र होता है।
vi) , जहाँ n, 2 का घात है, एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध है।
vii) अनुक्रम  का जनक फलन (1 - z)^-2 है।
viii) यदि  का जनक फलन है, तो (1 - x)g(x) अनुक्रम  का जनक फलन है, जहाँ सभी  के लिए  है।
ix) 10 के उन विभाजनों की संख्या जिनमें कोई भी भाग 5 से बड़ा नहीं है, Q₁₀⁵ है।
x) समीकरण  के धन पूर्णांक हलों की संख्या  है।

 If an infinite series  converges, then show that .

 Let f be a differentiable function whose derivative never vanishes on [a, b]. Show that f is either strictly increasing or strictly decreasing.

Check whether the set of integers is countable or not.

Give one example for each of the following. Justify.
(i) A set which is neither open or closed.
(ii) A set which has no limit point.

State Bolzano-Weierstrass theorem. Use it to check whether the set:

has a limit point.

Disprove the statement:

by providing a suitable counter-example.

Prove that every convergent sequence is Cauchy.

 Prove that .