निम्नलिखित समीकरण निकाय को क्रमर नियम से हल कीजिये:

ज्ञात कीजिये, जहाँ  इस से A^-1 निकालिये। 

आव्यूह  के आइगेमान और आइगेंसदिश ज्ञात कीजिये। क्या यह आव्यूह विकर्णनीय अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

दिखाइये कि की एक उपसमष्टि है। की उपस्मष्टि U का आधार भी ज्ञात कीजिये, जो  , को संतुष्ट करती है। 

मान लीजिये कि ? ∶ ℝ³ → ℝ³ एक रैखिक संकारक है ओर क्रमित आधार 

के सापेक्ष उसका आव्यूह  है। क्रमित आधार

 के सापेक्ष T का आव्यूह निकालिये।। 

जाँच कीजिये कि B = {1, 2? + 1, (? − 1)2 }, ?₂ के लिये एक आधार है जहाँ पी2 अधिक से अधिक कोटि P² वाले वास्तविक गुणाँक बहुपदों की सदिश समष्टि है।

मान लीजिये कि S कोई भी एक अरिक्त समुच्चय है और V (S), सपर सभी वास्तविक मान वाले फलनों का समुच्चय है। V(S) पर योग (f+g)(x) = f(x) + g(x) द्वारा परिभषित कीजिये और आदिश गुणन ( f) (x) =  f(x) द्वारा परिभषित कीजिये। जाँच कीजिये कि V (S), +, .) एक सदिश समष्टि है।

द्विघाति समघात का चिह्नक इकालिये।

रैखिक संकारक ? ∶ ℂ² → ℂ², जो ? (z₁,z₂) = (z₂,z₁ + iz₂)  द्वारा परिभाषित है, का C² पर मानक अंतर गुणन के सापेक्ष संलग्न निकालिये। 

मान लीजिये कि C[0, 1] अंतराल [0, 1] पर आंतर गुणन फलन

के सापेक्ष वास्तविक मूल्यों वाले उत्पादों का प्रतिच्छेदन गुणक यौगिक है। आंतर गुणन का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

जाँच कीजिये कि  आव्यूह के  आइगेंसदिश है। संगत आईगेमान क्या है?

आव्यूह  के लिये कैली-हैल्टन प्रमेय सत्यापित कीजिये। 

मान लीजिये कि A एक 2 x 3 आव्युह है, B एक 3 x 4 आव्यूह है, C एक 3 x 2 आव्यूह है और D एक 3 x 4 आव्यूह है। क्या AB + C^tD परिभाषित है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिये।

रैखिक रूपांतरण के क्रमित आधार {(0, −1), (−1, 0)} के सापेक्ष आव्यूह निकालिये, जो ? (?, ?) = (2?, ? − ?) द्वारा परिभाषित है,।. 

उस रैखिक रूपांतरण को वर्णन कीजिये जिस् के लिये

है जहाँ  के मानक आधार है।

खिक रूपांतरण की अष्टि ज्ञात कीजिये, जो ? (?, ?) = (2? + 3?, 2? − 3?) द्वारा परिभाषित है,। 

यदि का एक क्रमित आधार है और इस का संगत द्वैत आधार है तो और निकालिये। 

जाँच कीजिये कि द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है। 

जाँच कीजिये कि में, जो कोटि 3 य उस से कम वाले बहुपदों की सदिश स्मष्टि है, सदिशों की शमष्टि रैखिकतः स्वतंत्र है।. 

जाँच कीजिये कि की उप सम्ष्टि है या नहीं।