18,000 परिवारों वाले एक मुहल्ले से 840 परिवारों का एक यादृच्छिक प्रतिदर्श लिया गया है। इन 840 परिवारों के 206 परिवारों की मासिक आय 500 रू. या इससे कम है। 500 रू. या इससे कम आय वाले परिवारों का विश्वास्यता अंतराल ज्ञात कीजिए।

9 और 8 साइजों के दो प्रतिदर्शों के माध्यों के प्रति विचलनों के वर्गों का योगफल क्रमशः 160 और 91 इंच वर्ग प्राप्त होता है। इस बात का परीक्षण कीजिए कि ये प्रतिदर्श समान प्रसामान्य समष्टि से लिए गए हैं या नहीं? (यहाँ = 0.05 का प्रयोग कीजिए) 

एक साइकिल की दुकान 1990 से 2000 तक निम्नलिखित संख्या में साइकिलें बेचती है।

साइकिलों के बिक्री आंकड़ों से लंबाई 3 के प्रथम तीन गतिमान औसत अभिकलित कीजिए और इन्हें संगत वर्ष की पंक्ति में रखिए।

उन जनसंख्याओं से 1200 लोगों और 900 लोगों के प्रतिदर्श लिए गए हैं जिनमें क्रमशः 30% और 25% गोरे बाल वाले लोग हैं। इस बात का परीक्षण कीजिए कि इस जनसंख्या से लिए प्रतिदर्श में अंतर बना रहता है या नहीं। (यहाँ = 0.05 का प्रयोग कीजिए) 

अच्छी तरह से फेंटी गई ताश के 52 पत्तों की गड्डी से एक साथ बिना प्रतिस्थापन के दो पत्ते खींचे गए हैं। इक्कों की संख्या (x). का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। प्रायिकता बंटन का एक ग्राफीय निरूपण प्रस्तुत कीजिए।

नीचे 10 छात्रों द्वारा भौतिकी और गणित में (25 में से) प्राप्त किए गए अंकों का बंटन दिया गया है:

सभी 10 छात्रों का एक प्रकीर्ण आरेख बनाइए और भौतिकी तथा गणित में प्राप्त किए गए अंकों के बीच का सहसंबंध गुणांक निकालिए।

State Ising model and obtain the partition function (In Z) for 1D in the absence of an external magnetic field up to second order perturbation. Explain the physical significance of each term in the Hamiltonian and discuss the role of the coupling constant J.

Using the Mayer f-function, show that the second virial coefficient B₂ for a gas with a hard-sphere potential, (r),

is given as , where σ is the 3 diameter of the sphere. Here, (r) = ∞ for r < 6 and (r) = 0 for r > σ.

Derive the expression for the second virial coefficient B₂ in terms of the intermolecular potential (r) using the approximation βε_o <<1. Use the Lennard-Jones potential to outline its calculation.

How many photons are present in 1cm³ of radiation at 727°C? What is their average energy?

Explain Pauli's paramagnetism. Show that at T = 0 Pauli's paramagnetic susceptibility is given by

where u" is the intrinsic magnetic moment of the particle of mass m.

Obtain Fermi-Dirac distribution function. Draw it for T = OK and T > OK. What is its physical significance?

Using the result  show that the expression of density matrix (p) of a free particle in box of volume V in the canonical ensemble in the coordinate representation is given by L

Derive quantum Liouville equation. Write this equation for the Steady state.

Consider a gas in lattice-gas model, in which gas contained in volume Vis assumed to be divided into fixed small cubic cells of volume Vo such that each of the (cell) can contain at most one atom. The system behaves as a set of distinguishable and independent cells in contact with a reservoir at temperature T and chemical potential µ. Obtain the expressions of canonical partition function and average number of particles .

Calculate relative fluctuations in the energy of the system about the mean value in canonical ensemble.

Obtain an expression of probability of finding the system in the microstate k corresponding to energy E_k in canonical ensemble. Also, write the expression of canonical partition function.

What is Gibb's paradox? Derive Sackur-Tetrode equation of entropy for a classical, ideal gas.

Consider a single classical 1-D non-relativistic harmonic oscillator. Obtain x(t) and p(t) as a function of time t. Assume that initially at t = 0, the oscillator is at the maximum displacement x_o and p₍₀₎ = 0. Plot its phase space trajectory for fixed total energy E.

how that for any distribution where N is large, the distribution tends to a Gaussian or a normal distribution.