संहत समुच्चय I

एक समुच्चय जो विवृत है लेकिन संवृत नहीं है।

एक अनुक्रम जो अपसारी है।

ऍक्स के वे मान ज्ञात कीजिए जिन के लिए श्रेणी

अभिसरित होती है।

रीमान समाकलन से परिकलित कीजिए। 

पर एकसमानतः अभिसरित है जहाँ k> 0 है। आगे सिद्ध कीजिए कि {f_n}, [0,∞ [ पर एकसमानतः अभिसरित नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि फलनों का अनुक्रम {f_n} जहाँ

सिद्ध कीजिए :

मान लीजिए   

जाँच की f, [-1,1] पर एकसमान सांतत्य है या नहीं।

त्रिज्या    जहाँ की अभिसरण त्रिज्या ज्ञात कीजिए I

समुच्चय x∈ [0,2] और n∈ , के लिए  लीजिए। अनुक्रम का ॲन् सीमा फलन 'f' ज्ञात कीजिए। क्या f संतत है? जाँच कीजिए कि और समान हैं या नहीं। 

कॉशी समाकल परीक्षण द्वारा निम्नलिखित मूल्यांकन कीजिए :

मान लीजिए

द्वारा परिभाषित फलन है। दिखाइए कि  पर संतत है लेकिन x = 0 पर अवकलनीय नहीं है।

सिद्ध कीजिए कि e^x cos2x = 2 के किन्हीं दो वास्तविक मूलों के बीच e^x sin2x = 1 का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है।

मान लीजिए कि ऍक्स और वाइ दो वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि x < y है। ऐसी एक अपरिमेय संख्या मालूम कीजिए जिस के लिए निम्नलिखित होता है।

x <  < y

निम्नलिखित कथन तथा उनके निषेध को तर्कसंगत प्रमात्रकों का प्रयोग करते हुए आप किस प्रकार प्रस्तुत करेंगे? निषेध को शब्दों में भी दीजिए।

दिखाइए कि प्रत्येक [a,∞) एक विवृत समुच्चय है।

समुच्चय का उच्चक और निम्नक ज्ञात कीजिए।

एक उचित प्रति-उदाहरण देते हुए निम्नलिखित कथन को असिद्ध कीजिए :

सिद्ध कीजिए कि फलन फ: ऍस ऍस (जहाँ S परिमित अरिक्त समुच्चय है) एकैकी है, यदि यह आच्छादी है।