अवकल समीकरण का व्यापक हल प्राप्त कीजिए।
परवलय कुल x = cy2 की लंबकोणीय संद्देदियाँ ज्ञात कीजिए और उनके ग्राफ बनाइए।
See Answer →यदि y1 = 2x + 2 और y2 = -x2/2 समीकरण y = xy' + (y')2/2 के दो हल हों तो क्या इनके अचर गुणज c1y1, और c2y2, जहाँ c1 और c2 स्वेच्छ अचर हैं, भी समीकरण के हल होंगें? क्या इनका योगफल y1 + y2 एक हल है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
See Answer →यदि ƒ और g स्वेच्छ फलन हों तो दिखाइए कि समीकरण
का हल होगा जहाँ,
समीकरण x² (y - px) = yp² को क्लेरों रूप में समानीत कीजिए और फिर इसका पूर्ण हल ज्ञात कीजिए।
See Answer →अवकल समीकरण y² ln y = x py + p² का व्यापक हल ज्ञात कीजिए। क्या समीकरण का कोई विचित्र हल है?
See Answer →अवकल समीकरण को हल कीजिए जबकि दिया गया है कि और
समीकरण y" + w²y = 0 के संगत रिकेटी समीकरण ज्ञात कीजिए।
See Answer →दिखाइए कि अवकल समीकरण
के लिए emx विशेष समाकल है यदि m² + am+b = 0. अतः m का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए exm समीकरण
का एक विशेष समाकल हो।
See Answer →एक द्रव्यमान m जो मुक्त रूप से एक रेखा पर गतिशील है वह रेखा पर दिए गए एक बिन्दु की ओर उस बिन्दु से अपनी दूरी के समानुपाती बल से आकृष्ट होता है। यदि द्रव्यमान दिए गए बिन्दु से दूरी x0 पर विश्रामावस्था से प्रारंभ होता है तो दिखाइए कि द्रव्यमान सरल आवर्त गति में गतिमान होता है।
See Answer →बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य? अपने उत्तर की पुष्टि उपपत्ति या प्रति उदाहरण की सहायता से कीजिए।
i) अवकल समीकरण के हल का अस्तित्व है, परन्तु हल अद्वितीय नहीं है।
ii) परवलय y² = 4x के बिंदु (t², 2t) पर सभी स्पर्श रेखाओं ty = x + t2 को निरूपित करने वाला अवकल समीकरण x(y')² + yy'+1=0 है।
iii) आंशिक अवकल समीकरण auxx + 2b uxy + cu,yy = 0 जहाँ a, b, c अचर हैं, असमनिय होता है जब b2 ac = 0 हो।
iv) अंतराल ] - π/2, π/2 [ में फलन f1(x) = cos²x, f2(x) = sin²x, f3(x) = sec² x तथा f4(x) = tan²x रैखिकतः परतंत्र है।
v) द्वितीय कोटि आंशिक अवकल समीकरण के हल में दो स्वेच्छ अचर शामिल होंगे।
क्या निम्नलिखित फलन श्वार्ज-प्रमेय आवश्यकताओं को पर संतुष्ट करता है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
निम्नलिखित में से कौनसा कथन सत्य है? अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) S ⊂ C
(ii)C ⊂ S
See Answer →मान लीजिए कि S और C R3के उपसमुच्चय हैं। ऍस मूल-बिन्दु पर केन्द्र वाला एकक विवृत तथा क विवृत घन =
यदि तो a और b मान ज्ञात कीजिए।