Prove that the function  defined by

l is discontinuous, , using the sequential definition of continuity.

Let :[-3,3]→ R be defined by where [x] denotes the greatest integer ≤x. Show that this function is integrable.

Show that there is no real number, & for which the equation,  has two distinct roots in the interval [2,3].

Using the principle of mathematical induction, prove that   is natural numbuer.

Examine the function f : R→R defined by

for continuity on R. If it is not continuous at any point of R, find the nature of discontinuity there. (x+1)x+0 9-59-1

Find lim 

Prove that the union of two closed sets is a closed set. Give an example to show that union of an infinite number of closed sets need not be a closed set.

Are the following statements true or false? Give reasons for tour answers.

a) -2 is a limit point of the interval 1-3,2].

b) The series  is divergent.

The function, f(x)=sin² x is uniformly continuous in the interval [0, π).

d) Every continuous function is differentiable.

e) The function f defined on R by 

is irrational Is integrable in the interval [2,3].

हल कीजिए :

जैकोबी विधि से समीकरण

का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

शून्य प्रारंभिक विक्षेपण के संगत एकक लंबाई वाली कंपायमान डोरी के नियत सिरे का विक्षेपण ज्ञात कीजिए जहां, नीचे दिया गया u(x) प्रारंभिक वेग है।

सदिश a =i+j+k की दिशा में P_o (1, 1, 1) पर f(x, y, z) = x² + 2y² +3z² के दिक्-अवकलज ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित अवकल समीकरण को हल कीजिए।

   जहां   

समीकरण p² +q²-2px-2qy+1 = 0 का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

रैखिक आंशिक अवकल समीकरण x(y² + z)p-y(x² + z)q = (x²- y²) z का वह समाकल पृष्ठ ज्ञात कीजिए जिसमें सरल रेखा x + y = 0, z = 1 आविष्ट हो।

पृष्ठ-कुल    का अवकल समीकरण ज्ञात कीजिए। इस आंशिक अवकल समीकरण की कोटि क्या है?

सत्यापित कीजिए कि समीकरण

समाकलनीय है और इसका पूर्वग ज्ञात कीजिए।

प्राचल विचरण विधि से समीकरण    हल कीजिए। को

हल कीजिए :

हल कीजिए:   

आंशिक अवकल समीकरण

को हल कीजिए।