Solve your IGNOU Doubts

Question:

Check which of the following matrices is positive definite and which is positive semi-definite:

$A=\begin{bmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&1\end{bmatrix},\quad B=\begin{bmatrix}2&0&1\\0&2&-1\\1&-1&3\end{bmatrix}$

Also, find the square root of the positive definite matrix.

See Answer →

Question:

Use least squares method to find a quadratic polynomial that fits the following data:

(-2, 15.7), (-1, 6.7), (0, 2.7), (1, 3.7), (2, 9.7).

See Answer →

Question:

Let

$A=\begin{bmatrix}2&2&1\\-1&-1&2\\0&0&-2\end{bmatrix}$

Find a unitary matrix U such that U* AU is upper triangular.

See Answer →

Question:

Solve the following system of differential equations:

$\frac{dy(t)}{dt}=Ay(t)\text{with}y(0)=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix},\text{where}A=\begin{bmatrix}2&-5&-11\\0&-2&-9\\0&1&4\end{bmatrix}$

See Answer →

Question:

Let M and Tbe a metro city and a nearby district town, respectively. Our government is trying to develop infrastructure in T so that people shift to T. Each year 15% of T's population moves to M and 10% of M's population moves to T. What is the long term effect of on the population of M and T? Are they likely to stabilise?

See Answer →

Question:

Find the Jordan canonical form J for

$B=\begin{bmatrix}-1&0&-2&-4\\2&1&2&4\\-4&2&-1&-4\\2&-1&1&3\end{bmatrix}$

Also, find a matrix P such that J = P^-1BP.

See Answer →

Question:

Can A be similar to A + I ? Give reasons for your answer.

See Answer →

Question:

If C and D are n x n matrices such that C = -DC and D^-1 exists, then show that C is similar to -D. Hence show that the eigenvalues of C must come in plus-minus pairs.

See Answer →

Question:

Let $T:\mathbb{C}^2\to\mathbb{C}^2:T\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x+2y-iz\\2y+iz\\ix+z-2z\end{bmatrix}$ Find [T]_B [T]_B and P where

$B=\left\{\begin{bmatrix}0\\i\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}i\\1\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\2\end{bmatrix}\right\},\quad B'=\left\{\begin{bmatrix}1\\-i\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}1\\i\\0\end{bmatrix}\right\},\quad[T]_{B'}=P^{-1}[T]_B P.$

See Answer →

Question:

Which of the following statements are true and which are false? Give reasons for your answer.

i) If Vis a finite dimensional vector space and $T:V\rightarrow V$ is a diagonalisable linear operator, then there is a basis, unique up to order of the elements, with respect to which the matrix of T is diagonal.

ii) Up to similarity, there is a unique 3 x 3 matrix with minimal polynomial (x - 1)²(x - 2).

iii) If a is the eigenvalue of a matrix A with characteristic polynomial f(x), (x - $\lambda$ )^k | f(x) and $(x-\lambda)^{k+1}+f(x)$ then the geometric multiplicity of a is at most k.

iv) If $\rho(A)$ = 1, then A^k → ∞ as k → ∞ .

v) If N is nilpotent, eⁿ is also nilpotent.

vi) The sum of two normal matrices of the order n is normal.

vii) If P and Q are positive definite operators, P + Q is a positive definite operator.

viii) Generalised inverse of a n x n matrix need not be unique.

ix) All the entries of a positive definite matrix are non-negative.

x) The SVD of any 2 x 3 matrix is unique.

See Answer →

Question:

Read the following text and narrate the text in your own words in Russian.

В настоящее время никто не пишет письма. Люди или звонят или общаются через интернет. Но вчера я получил одно интересное письмо. Когда почтальон принёс письмо и я увидел почерк на конверте, я сразу понял, что оно от Ашока. Ашок учитель, живёт в далёкой деревне, где он учит историю современную и древнюю. Ашок любит деревню. Любит её чистый воздух, её зелёные поля, её тихую и спокойную жизнь. Вот почему он решил остаться в деревне.

В своём письме Ашок пишет, что скоро приезжает в Дели и хочет провести здесь зимние каникулы. В январе в Дели бывает международная книжная выставка. Там он хочет купить новые книги и журналы. Ашок настоящий любитель книг. Он пишет, что у него только одна любовь книги. Но я знаю, почему ещё он хочет сюда приехать. Ведь в Дели живёт Рина - девушка, которую он любит.

See Answer →

Question:

Read the following text and narrate the text in your own words in Russian.

Каждое воскресенье, если погода хорошая, мы ходим в соседний лес. Этот лес очень красивый большой и густой. Туда ходят разные люди. Некоторые сидят на скамейке, некоторые гуляют, разговаривают, поют песни. Иногда люди лежат прямо на траве и читают книги. В лесу есть небольшое озеро. Люди тут гуляют, отдыхают, собирают грибы, купаются в озере. Рядом есть маленький детский парк. Там дети играют, катаются на велосипеде. Лес это прекрасное место для отдыха.

See Answer →

Question:

Read the following text and narrate the text in your own words in Russian.

Волгоград очень большой и красивый город. Этот город находится на юге России. Мой друг Иван живёт в Волгограде. Он студент. Раньше его родители жили в Москве, а сейчас они живут в этом городе. Его мама Инна Петровна преподавательница. Она работает в институте. Её институт находится в центре города. Его папа Антон Николаевич врач. Он работает в больнице. Эта больница находится недалеко. Его старшая сестра Мария учится в университете. Она живёт в общежитии.

Сегодня воскресенье. Вся семья отдыхает. Мама, папа и младшая сестра идут в парк, а Иван идёт на стадион. Сегодня на стадионе играют футбольные команды «Динамо» и «Спартак».

See Answer →

Question:

Why learning Russian is important today?

See Answer →

Question:

Which language group Russian belongs to? Explain.

See Answer →

Question:

How many Vowels are there in Russian alphabet and how are they pronounced? Give one example for each letter.

See Answer →

Question:

How many Consonants are there in Russian alphabet and how are they pronounced? Give one example for each letter.