समतलों  की प्रतिच्छेद रेखा से गुजरने वाले तथा समतल    पर लंब समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

बिंदु (1,3,4) से गुजरने वाली तथा बिंदुओं (-4,5,3) और (8,9,7) को मिलाने वाली रेखा के समांतर रेखा के समीकरण ज्ञात कीजिए।

सिद्ध कीजिए कि किसी परवलय की नाभि से गुजरने वाली तथा उस परवलय की अक्ष से 30° पर झुकी हुई जीवा की लंबाई, उस परवलय की नामिलंव की लंबाई की चार गुना होती है।

दीर्घवृत्त  की उत्केंद्रता, नाभियां, केंद्र और नियताएं ज्ञात कीजिए। इसका  स्थूल चित्र भी बनाइए।

(ii) सिद्ध कीजिए कि (x₁,y₁) और (x_2, y₂) से गुजरने वाली रेखा के समीकरण y को  के रूप में लिखा जा सकता है। 

(i) दिखाइए कि  बिंदुओं (2,3) और (-4,7) से गुजरने वाली रेखा को निरूपित करता है। 

मान लीजिए P बिंदुओं A(a + b, b) और B(ab, a + b) को मिलाने वाले रेखा-खण्ड का मध्य-बिंदु है। P और Q (b) से गुजरने वाली रेखा की प्रवणता निकालिए। a और b पर किन प्रतिबंधों के अधीन यह रेखा -अक्ष के समांतर होगी? 

दिखाइए कि रेखा x = y शांकव  को स्पर्श करेगी, यदि   हो।

सिद्ध कि दो समकोणीय अतिपरवलयों के प्रतिच्छेद बिन्दुओं से अंतिम वाला शंकव भी समकोणीय अतिपरवल होता है। 

 शांकव  को अनुरेखित कीजिए।

जांच कीजिए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं अथवा असत्य। अपने उत्तर की पुष्टि लघु व्याख्या या प्रति-उदाहरण द्वारा कीजिए।

(i) संख्याएँ  एक रेखा की दिक्कोज्याएं हैं। 

(ii) बिंदु (1, 2), (7,6) और (4,4) संरेखीय हैं।

(iii) शंकव  अपभ्रष्ट है।

(iv) दीर्घवृत्त  का समतल y = 5 से प्रतिच्छेद एक वृत्त है।

(v) शांकवज  अकेंद्रीय है।

(vi) रेखा y = x परवलय की स्पर्श रेखा है।

(vii) समीकरण  एक परवलज को निरूपित करता है।

(viii) किसी रेखा-खण्ड का उसकी लंब रेखा पर प्रक्षेप उस रेखा-खण्ड की लंबाई के बराबर होता है।

(ix) रेखाएं  और  परस्पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(x) बेलन का समतल परिच्छेद एक वृत्त होता है।

c) Alice wants to use the Digital Signature algorithm for signing messages. She chooses p = 83, q = 41, g = 2 and a = 3. Alice wants to sign the message M = 20. She chooses the secret value k = 8. Explain the procedure that Alice will use for computing the signature. What information will she send Bob?

b) Alice wants to use the ElGamal digital signature scheme with public parameters  secret value a = 7 and β = 34. She wants to sign the message M = 20 and send it to Bob. She chooses k = 5 as the secret value. Explain the procedure that Alice will use for computing the signature of the message. What information will she send Bob

Solve the discrete logarithm problem 5^x ≡ 22 (mod 47) using Baby-Step, Giant-Step algorithm.

b) i) Bob uses ElGamal cyrptosystem with parametersand the secret value x = 3. What values will he make public?

ii) Alice wants to send Bob the messageShe chooses k = 5. How will she compute the cipher text? What information does she send to Bob?

iii) Explain how Bob will decrypt the message

a) Decrypt the message c = 23 that was encrypted using RSA algorithm with e = 43 and n = 77.

Apply poker test to the following sequence with level of significane α = 0.05. (4) 1001101000010000101111011 01110100101101100100110.

c) Apply runs test to the following sequence

a) Apply the frequency test, serial test and autocorrelation test to the following sequence at level of significance α = 0.05: 011001110000110010011100

Find a recurrence that generates the sequence 110110110110110.

a) Considering the bytes 10001001 and 10101010 as elements of the  g(X)) is the polynomia  find their product and quotient.