यदि का एक क्रमित आधार है और  इस का संगत द्वैत आधार है तो  और  निकालिये। 

जाँच कीजिये कि  द्वारा परिभाषित है, एक रैखिक रूपांतरण है। 

जाँच कीजिये कि में, जो कोटि 3 य उस से कम वाले बहुपदों की सदिश स्मष्टि है, सदिशों की शमष्टि  रैखिकतः स्वतंत्र है।. 

बिंदुओं (1,0,-1), (0, 1, 1) और (-1,1,0) द्वारा निर्धारित समतल की सदिश समीकरण ज्ञात कीजिये ।. 

दर्शनीय कि फलन :

अन्यथा

बिन्दु (0,0) पर संतत नहीं है।

एक शहर की जनसंख्या में किसी (उस) समय की जनसंख्या के समानुपात की दर पर वृद्धि होती है। उसकी प्रारम्भिक जनसंख्या 500 में 10 वर्षों में 15% वृद्धि हो जाती है। 30 वर्षों में यह जनसंख्या कितनी हो जाएगी?

समघात फलनों के लिए, ऑयलर प्रमेय का कथन लिखिए तथा फलन   के लिए  उसका सत्यापन कीजिए। 

बिन्दु (1,-1) पर फलन f(x,y) = 5x⁴+y² +6x²y³ के लिए, आंशिक अवकलज f_x और f_y ज्ञात कीजिए।

चारपिट विधि का उपयोग करते हुए, अवकल समीकरण p²x+q²y = z का पूर्ण समाकल ज्ञात कीजिए।

समीकरण px+qy = pq का पूर्ण हल प्राप्त कीजिए।

दिखाइए कि निम्नलिखित फलन f, (0,0) पर अवकलनीय है :

  द्वारा दिए गए फलन के लिए दिखाइए कि :

लेकिन  का अस्तित्व नहीं होता। 

समीकरण :

x(y²-z²)ux + y(z² -x²)u, +z(x²-y²)u_₂ = 0

 हल कीजिए :

y'=zy^$+x 4 / xy³

सत्यापित कीजिए कि अवकल समीकरण :

z(x²-y²-z^²)dx+(x+z)xzdy +x(z²-x²-xy)dz = 0

यदि :

Z=x²y+2xy⁴

जहाँ  x = sin zt

और y = cost

तो dz/dt  ज्ञात कीजिए: (i) श्रृंखला नियम और (ii) प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन से जहां t = 0 |

प्राचल विचार विधि से अवकल समीकरण  :

y" + y = sec² x

का व्यापक हल प्राप्त कीजिए।

 युगपत समीकरणों :

का हल प्राप्त कीजिए।

अवकल समीकरण :

का हल प्राप्त कीजिए।

 Show that the following function is not continuous at (0,0):